二次函数导数的证明
函数 \( f \) 的导数 \( f' \) 由以下极限定义给出：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]设 \( f \) 是形如 \( f(x) = a x^2 + bx + c \) 的二次函数。将 \( f \) 的导数写作：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]展开分子中的项 \( a(x+h)^2 \) 和 \( b(x+h) \)：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]化简分子：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]分子和分母同除以 \( h \)：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]求极限即可得到二次函数的导数：
公式：
\[ f'(x) = 2ax + b \]
经典例题与解答
A 部分与 B 部分：练习题与解答
A 部分：求下列二次函数的导数：
- \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
- \( g(x) = -x^2 - 1 \)
- \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
- \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)
B 部分：设 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)。已知 \( f(2) = 3 \)、\( f'(0) = 1 \) 且 \( f'(-1) = 2 \)，求 \( f'(2) \)。
解答：
A 部分解答：
- \( f'(x) = 8x - 1 \)
- \( g'(x) = -2x \)
- \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
- \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)
B 部分解答：
给定的函数 \( f \) 是二次函数，因此：
\[ f'(x) = 2ax + b \]已知 \( f'(0) = 1 \)，代入得方程：\( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)
已知 \( f'(-1) = 2 \)，代入得方程：\( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)
已知 \( f(2) = 3 \)，代入得方程：\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)
最后，求 \( f'(2) \)：
\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]