本文利用导数的定义展示了 \( \sin(x) \) 导数的证明。文中还介绍了正弦复合函数的导数，并配有详细的例题解答。
利用导数定义证明 sin(x) 的导数
函数 \( f \) 的导数 \( f' \) 由以下公式给出：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]设 \( f(x) = \sin(x) \)，将 \( \sin(x) \) 的导数写成极限形式：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \]使用公式 \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \) 来改写导数：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \]将 \( f'(x) \) 改写为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \]利用定理：函数和的极限等于各个函数极限的和：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \]提取与 \( h \) 无关的项：
\[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \]现在我们使用以下标准三角极限：
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \]（通过夹逼定理证明）
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \]（在计算三角函数的极限中证明）
将这些极限代入 \( f'(x) \) 的表达式中：
\[ f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x) \]
公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \]
sin(x) 及其导数的图像
\( \sin(x) \) 及其导数的图像如下所示。注意，\( \sin(x) \) 的任何极小值或极大值都对应着其导数 \( \cos(x) \) 的零点。此外，在 \( \sin(x) \) 递增的区间上，导数大于 0；在 \( \sin(x) \) 递减的区间上，导数小于 0。
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复合函数 sin(u(x)) 的导数
我们现在考虑另一个函数 \( u(x) \) 的复合正弦函数。使用微积分的求导链式法则可写为：
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \]
链式法则公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \cos(u(x)) \, u'(x) \]
经典例题与解答
经典例题：求复合正弦函数的导数
求下列复合正弦函数的导数：
- \( f(x) = \sin(x^2 - x) \)
- \( g(x) = \sin(\sin x) \)
- \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)
解答：
-
令 \( u(x) = x^2 - x \)，则 \( \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 \)。
应用复合正弦函数法则： \[ f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x) \] -
令 \( u(x) = \sin x \)，则 \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \)。
应用公式： \[ g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x) \] - 令 \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \)。使用商法则： \[ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2} \] 应用公式： \[ h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \]