包含详细解答和练习题的示例，用于解决与未定式相关的极限问题，例如：
\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
定理
洛必达法则的第二个版本允许我们将极限问题：
\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]替换为另一个更简单的问题来求解。
如果 \( \lim f(x) = \infty \) 且 \( \lim g(x) = \infty \)，并且如果 \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) 具有有限值 \( L \)，或者是 \( \infty \) 或 \( -\infty \) 的形式，那么：
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]在上述内容中，\( \lim \) 代表 \( \lim_{x \to a} f(x) \)、\( \lim_{x \to a^+} f(x) \)、\( \lim_{x \to a^-} f(x) \)、\( \lim_{x \to \infty} f(x) \) 或 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)。
带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
求极限：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]显示解答
由于：
\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]并且
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]我们得到未定式：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]可以使用洛必达法则来计算给定的极限问题，如下所示：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]计算分子和分母的导数：
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]计算分子和分母的极限：
\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]现在我们求给定极限的值：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]例题 2
求极限：
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]显示解答
注意：
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]并且
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]这是 \( \infty \cdot 0 \) 的未定式。思路是将其转化为 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 的未定式并应用洛必达法则。注意：
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]我们应用洛必达法则：
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]例题 3
求极限：
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]显示解答
注意 \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \)，上述极限形式为：
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]即 \( 1^\infty \) 的未定式。如果我们令 \( t = 1 / x \)，上述极限可以写为：
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]注意当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0^+ \)。
令 \( y = (1 + t)^{1/t} \)，求当 \( t \) 趋近于 0 时 \( \ln y \) 的极限：
\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]使用 \( \ln y \) 的好处在于：
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]该极限具有 \( 0 / 0 \) 的未定式形式，可以应用第一个洛必达法则：
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]既然 \( \ln y \) 的极限为 1，则 \( y \) 的极限为 \( e^1 = e \)。因此：
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]例题 4
求极限：
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]显示解答
注意：
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]并且
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]该极限具有 \( \infty - \infty \) 的未定式形式，必须通过通分化简转换为另一种形式：
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]我们现在有了 \( 0 / 0 \) 的未定式，可以应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]我们再次得到了 \( 0 / 0 \) 的未定式，再应用一次洛必达法则：
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]例题 5
求极限：
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]显示解答
我们得到 \( 0^0 \) 的未定式。令 \( y = x^x \)，则 \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \)。现在求 \( \ln y \) 的极限：
\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]上述极限具有 \( 0 \cdot \infty \) 的未定式形式。我们将其转换如下：
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]现在它变成了 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 的未定式，我们可以应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]\( \ln y \) 的极限为 0，因此 \( y = x^x \) 的极限等于：
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]练习题
计算下列极限。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
显示答案
练习 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
显示答案
练习 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
显示答案
练习 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)