每个方阵 \( A \) 都满足平凡恒等式 \( A = I\,A \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。我们的目标是将 \( A \) 分解为单位下三角矩阵 \( L \) 和上三角矩阵 \( U \) 的乘积：
\( A = L\,U \)。
我们通过对右因子 \( A \) 应用高斯消元法来获得此分解。每个行运算 \( R_m \leftarrow R_m + k\,R_j \) 对应于左乘一个初等矩阵 \( E_k \)。应用完整的消元序列 \( E_1, E_2, \dots, E_p \) 得到
\( E_p \cdots E_2 E_1 \, A = U \),
其中 \( U \) 是所得的上三角矩阵。解出 \( A \)：
\( A = \bigl( E_p \cdots E_2 E_1 \bigr)^{-1} U = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_p^{-1} \, U \)。
初等矩阵的逆的乘积正好是下三角矩阵 \( L \)：
\( L = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_p^{-1}. \)
因为每个 \( E_k^{-1} \) 本身也是初等矩阵——通过相反的行运算从单位矩阵获得——所以矩阵 \( L \) 自动是单位下三角矩阵，消元的乘数（符号取反）记录在非对角元素中。因此，经典规则“使元素 \( (m,j) \) 变为零的乘数在 \( L_{mj} \) 中变为 \( -k \)”只是初等矩阵恒等式 \( E_k^{-1} = I - k\,e_m e_j^{T} \) 的重新表述。
这就是 LU 分解有效的原因：它不过是初等矩阵的乘积，经过重新排列，使所有“逆”运算收集到一个因子 \( L \) 中，所有“正向”消元收集到另一个因子 \( U \) 中。
更多关于行运算与初等矩阵的内容。
上面的介绍使用初等矩阵来构建 LU 分解。这里我们从行运算和对 \( I \) 的相应列运算的角度描述同一过程——两种观点是等价的。
每个方阵 \( A \) 都满足平凡恒等式 \( A = I\,A \)。
我们的目标是通过行运算 \( R_m \leftarrow R_m + k\,R_j \)（\( m > j \)）将右因子 \( A \) 变换为上三角矩阵 \( U \)。每个这样的行运算对应于左乘一个初等矩阵 \( E \)，因此右因子演变为 \( A \to E\,A \)。
为了保持乘积 \( L \cdot U \) 等于 \( A \)，我们必须同时对左因子应用逆运算。行运算 \( R_m \leftarrow R_m + k\,R_j \) 的逆是行运算 \( R_m \leftarrow R_m - k\,R_j \)，将其从右侧应用于左因子 \( I \) 等价于列运算 \( C_j \leftarrow C_j - k\,C_m \)。
用初等矩阵 \( E^{-1} \) 左乘矩阵执行行运算 \( R_m \leftarrow R_m - kR_j \)。同一个矩阵 \( E^{-1} \) 右乘执行的是列上的转置运算：\( C_j \leftarrow C_j - kC_m \)。索引交换是因为右乘是左乘的（矩阵意义下的）转置： \[ (M E^{-1})^T = (E^{-1})^T M^T \] 因此，右因子上的行运算自然地与左因子上的转置列运算配对——而且因为左因子从 \( I \) 开始，该列运算只是在位置 \( (m, j) \) 插入 \( -k \)，从而构建 \( L \)。
换句话说，右因子上的行运算和左因子上的列运算是互逆的，即 \( E^{-1} E = I \)。因为它们是互逆的，每一步的乘积都保持不变。
由于我们从左因子等于 \( I \) 开始，列运算只是在位置 \( (m, j) \) 插入值 \( -k \)——构建下三角矩阵 \( L \)。当右因子变为上三角时，我们有 \( A = L\,U \)。您可以使用在线 LU 矩阵分解计算器验证任何结果。
方阵 \( A \) 的 LU 分解是因子分解 \( A = L\,U \)，其中
要将当前右因子的元素 \( (m, j) \) 变为零，我们应用行运算
\( R_m \leftarrow R_m + k\,R_j \qquad (m > j) \)
为保持乘积不变，我们同时对左因子应用逆列运算：
\( C_j \leftarrow C_j - k\,C_m \)
\( U \leftarrow E\,U \)
效果：元素 \( (m,j) \) 变为 \( 0 \)。
\( L \leftarrow L\,E^{-1} \)
效果：元素 \( (m,j) \) 变为 \( -k \)。
| 对 \( U \) 的行运算（右因子） | 对 \( L \) 的列运算（左因子） |
|---|---|
| \( R_m \leftarrow R_m + k R_j \) | \( C_j \leftarrow C_j - k C_m \) |
| 左乘 \( E \) | 右乘 \( E^{-1} \) |
| 效果：\( U \) 的元素 \( (m, j) \) 变为 \( 0 \) | 效果：\( L \) 的元素 \( (m, j) \) 变为 \( -k \) |
| 两种运算互逆：\( E^{-1} E = I \)，因此乘积 \( L\,U = A \) 保持不变。 | |
因为 \( E \cdot E^{-1} = I \)，每一步的乘积 \( L \cdot U = A \) 都保持不变。由于我们从 \( L = I \) 开始，每个列运算只是填充 \( L \) 的一个非对角元素，而 \( L \) 的对角元素保持为 \( 1 \)。
设 \( E \) 是执行 \( R_m \leftarrow R_m + kR_j \) 的初等矩阵。其逆 \( E^{-1} \) 执行 \( R_m \leftarrow R_m - kR_j \)。从 \( A = I \cdot A \) 出发，插入 \( E^{-1}E = I \)：
\( A = I \cdot A = (I\,E^{-1})(E\,A) \)
将右因子左乘 \( E \) 执行行运算 \( R_m \leftarrow R_m + kR_j \)。将左因子右乘 \( E^{-1} \) 对 \( L \) 执行逆行运算，由于 \( L \) 是右乘，这等价于列运算 \( C_j \leftarrow C_j - kC_m \)。
因此这两种运算互逆：
\( E \cdot E^{-1} = I \)
所以它们的联合效果使乘积保持不变。这正是每个阶段都保持 \( L^{(k)} U^{(k)} = A \) 的原因。
对每个阶段重复，得到不变链：
\( A = L^{(0)}U^{(0)} = L^{(1)}U^{(1)} = L^{(2)}U^{(2)} = \cdots = L\,U \)
下面每一步都展示对 \( U \) 的行运算和对 \( L \) 的逆列运算，以及更新后的矩阵。
可逆矩阵 \( A \) 具有 LU 分解（无行交换）当且仅当其所有顺序主子式均非零。
\( k \) 阶顺序主子式 \( M_k \) 是保留 \( A \) 的前 \( k \) 行和前 \( k \) 列所得子矩阵的行列式。
示例。 对于
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1 & -3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}, \]
四个顺序主子式为：
\[ M_1 = \det[1] = 1, \]
\[ M_2 = \det\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = -2, \]
\[ M_3 = \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix} = -17, \]
\[ M_4 = \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1 & -3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = 90. \]
由于所有顺序主子式均非零，\( A \) 具有 LU 分解。（这里不显式计算——本示例的目的是说明存在性检验。）
求 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \) 的 LU 分解。
从 \( L^{(0)} = I \)、\( U^{(0)} = A \) 开始：
\[ A = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_{L^{(0)}} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}}_{U^{(0)}} \]
\[ L^{(0)} U^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = A \quad \checkmark \]
阶段 1 — 用乘数 \( k = -2 \) 将 \( U_{21} \) 变为零。
\( R_2 \leftarrow R_2 + (-2)R_1 \)
\( C_1 \leftarrow C_1 - (-2)C_2 \Rightarrow L_{21} = 2 \)
\[ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;R_2 - 2R_1\;} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;C_1 \leftarrow C_1 + 2C_2\;} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]
最终因子：
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad U = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ L\,U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = A \quad \checkmark \]
求 \( A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix} \) 的 LU 分解。
从 \( L^{(0)} = I \)、\( U^{(0)} = A \) 开始：
\[ A = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}_{L^{(0)}} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix}}_{U^{(0)}} \]
\[ L^{(0)} U^{(0)} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix} = A \quad \checkmark \]
阶段 1 — 将主元下方第 1 列变为零。乘数 \( k = 2 \)（第 2 行）和 \( k = -3 \)（第 3 行）。
\( R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 \)
\( R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 \)
\( C_1 \leftarrow C_1 - 2C_2 \Rightarrow L_{21} = -2 \)
\( C_1 \leftarrow C_1 - (-3)C_3 \Rightarrow L_{31} = 3 \)
\[ \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;R_2 + 2R_1,\; R_3 - 3R_1\;} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -7 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;C_1 \leftarrow C_1 - 2C_2,\; C_1 \leftarrow C_1 + 3C_3\;} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
阶段 1 后：
\[ L^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad U^{(1)} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -7 \end{bmatrix} \]
\[ L^{(1)} U^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix} = A \quad \checkmark \]
阶段 2 — 用乘数 \( k = \tfrac{5}{2} \) 将 \( U_{32} \) 变为零。
\( R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{5}{2}R_2 \)
\( C_2 \leftarrow C_2 - \tfrac{5}{2}C_3 \Rightarrow L_{32} = -\tfrac{5}{2} \)
\[ \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -7 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;R_3 + \tfrac{5}{2}R_2\;} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & \tfrac{21}{2} \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;C_2 \leftarrow C_2 + \tfrac{5}{2}C_3\;} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{bmatrix} \]
最终因子：
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{bmatrix}, \qquad U = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & \tfrac{21}{2} \end{bmatrix} \]
\[ L\,U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & \tfrac{21}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & -1 \end{bmatrix} = A \quad \checkmark \]
确定以下哪些可逆矩阵具有 LU 分解：
a) \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) b) \( \begin{bmatrix} -1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \) c) \( \begin{bmatrix} 2 & 2 & 8 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \end{bmatrix} \)
a) \( M_1 = 0 \)，\( M_2 = -1 \)。由于 \( M_1 = 0 \)，没有 LU 分解——高斯消元甚至无法开始（主元 \( a_{11}=0 \)）。
b) \( M_1 = -1,\; M_2 = -2,\; M_3 = -4 \)。全部非零，因此存在 LU 分解：
\( \begin{bmatrix} -1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 & -4 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)
c) \( M_1 = 2,\; M_2 = 4,\; M_3 = 0,\; M_4 = -72 \)。由于 \( M_3 = 0 \)，没有 LU 分解。
| 示例 | 矩阵 | \( L \) | \( U \) |
|---|---|---|---|
| 1 | \(2 \times 2\) | \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \) | \( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) |
| 2 | \(3 \times 3\) | \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{bmatrix} \) | \( \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & \tfrac{21}{2} \end{bmatrix} \) |
求以下矩阵的 LU 分解（如果存在）：