单位矩阵

下面介绍单位矩阵及其性质，包括示例和带详细解答的练习。

单位矩阵的定义

单位矩阵是一个方阵，其主对角线上的所有元素都等于 \( 1 \)，其他所有元素都等于零。

以下是维度为 \( 1 \times 1 \)、\( 2 \times 2 \)、\( 3 \times 3 \)、\( 4 \times 4 \)、…… 的单位矩阵示例。

\[ I_1 = [1] \quad , \quad I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

单位矩阵最重要的性质之一是：一个维度为 \( n \times n \) 的方阵 \( A \) 与单位矩阵 \( I_n \) 的乘积等于 \( A \)：

\( A I_n = I_n A = A \)

单位矩阵用于定义矩阵的逆。维度为 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \) 和 \( B \) 互为逆矩阵，如果：

\( A B = B A = I_n \)

单位矩阵的性质

以下，\( A \) 是一个维度为 \( n \times n \) 的方阵。单位矩阵的一些最重要性质如下。

乘法单位元： \( I_n \) 与 \( A \) 的乘积等于 \( A \)。
\( A I_n = I_n A = A \)
幂等性： \( k \) 个 \( I_n \) 的乘积对于任意正整数 \( k \) 都等于 \( I_n \)。
\( I_n^k = I_n, \quad k \in \mathbb{Z}^{+} \)
逆关系： \( A \) 与其逆 \( A^{-1} \) 的乘积等于 \( I_n \)。
\( A A^{-1} = A^{-1} A = I_n \)
自逆性： \( I_n \) 的逆是 \( I_n \)。
\( I_n^{-1} = I_n \)
对称/自转置： \( I_n \) 的转置是 \( I_n \)。
\( I_n^{T} = I_n \)
正交矩阵： \( I_n \) 是正交矩阵——其列（和行）构成标准正交集，并且：
\( I_n^{T} I_n = I_n I_n^{T} = I_n \)
行列式： \( I_n \) 的行列式等于 \( 1 \)。
\( \det(I_n) = 1 \)

示例与解答

例 1

求 \( x \)、\( y \)、\( z \) 和 \( w \)，使得： \[ \begin{bmatrix} x-2 & y+1 \\ 2z-1 & w-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 10 \end{bmatrix} \]

解答

左边的乘积形式为 \( A I_2 \)。根据性质 1，\( A I_2 = A \)。因此： \[ \begin{bmatrix} x-2 & y+1 \\ 2z-1 & w-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-2 & y+1 \\ 2z-1 & w-2 \end{bmatrix} \] 将其与右边相等： \[ \begin{bmatrix} x-2 & y+1 \\ 2z-1 & w-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 10 \end{bmatrix} \] 由于两个同尺寸矩阵相等当且仅当其对应元素相等，我们得到方程组： \[ x - 2 = 2, \quad y + 1 = 6, \quad 2z - 1 = 9, \quad w - 2 = 10 \] 解每个方程： \[ x = 4, \quad y = 5, \quad z = 5, \quad w = 12 \]

答案： \( x = 4,\; y = 5,\; z = 5,\; w = 12 \)。

例 2

化简表达式 \( A^{-1}(A + I_n) - I_n \)，其中 \( A \) 是维度为 \( n \times n \) 的方阵。

解答

将 \( A^{-1} \) 分配到和中： \[ A^{-1}(A + I_n) - I_n = A^{-1}A + A^{-1}I_n - I_n \] 应用性质 3（\( A^{-1}A = I_n \)）和性质 1（\( A^{-1}I_n = A^{-1} \)）： \[ = I_n + A^{-1} - I_n \] 消去 \( I_n - I_n \)： \[ = A^{-1} \]

答案： \( A^{-1}(A + I_n) - I_n = A^{-1} \)。

例 3

给定 \( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \)、\( B = \begin{bmatrix} 3 & x \\ y & 5 \end{bmatrix} \) 和 \( A B = I_2 \)，求矩阵 \( B \) 及其逆 \( B^{-1} \)。

解答

将 \( A \)、\( B \) 和 \( I_2 \) 代入 \( A B = I_2 \)： \[ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & x \\ y & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 计算左边的矩阵乘积： \[ \begin{bmatrix} 15 + 2y & 5x + 10 \\ 21 + 3y & 7x + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 令对应元素相等得到： \[ 15 + 2y = 1, \quad 5x + 10 = 0, \quad 21 + 3y = 0, \quad 7x + 15 = 1 \] 由 \( 15 + 2y = 1 \)：\( 2y = -14 \Rightarrow y = -7 \)，这也满足 \( 21 + 3y = 0 \)。由 \( 5x + 10 = 0 \)：\( x = -2 \)，这也满足 \( 7x + 15 = 1 \)。

因此： \[ B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \]

验证。 计算 \( B A \)： \[ \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 - 14 & 6 - 6 \\ -35 + 35 & -14 + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 \] 由于 \( A B = B A = I_2 \)，矩阵 \( A \) 和 \( B \) 互为逆矩阵，所以 \( B^{-1} = A \)。

答案： \( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \) 且 \( B^{-1} = A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \)。

习题（解答见下文）

以下，\( A \)、\( B \) 和 \( C \) 是维度为 \( n \times n \) 的方阵。

第 1 部分
矩阵 \( A \) 和 \( B \) 是方阵，且 \( A B = I_n \)。求乘积 \( B^{-1} A^{-1} \)。
第 2 部分
求 \( a \) 和 \( b \)，使得： \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a b & a + b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} \]
第 3 部分
化简表达式 \( -A (A^{-1} + I_n) + I_n \)。
第 4 部分
已知 \( B A = C \)，将 \( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) \) 用 \( C \) 和 \( C^{-1} \) 表示。

上述习题的解答

第 1 部分
对 \( A B = I_n \) 两边取逆： \[ (A B)^{-1} = I_n^{-1} \] 使用 \( (A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \) 和 \( I_n^{-1} = I_n \)： \[ B^{-1} A^{-1} = I_n \]
第 2 部分
由于乘以 \( I_2 \) 不改变矩阵： \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a b & a + b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 10 & 7 \end{bmatrix} \] 令对应元素相等： \[ a b = 10 \quad \text{且} \quad a + b = 7 \] 由 \( a + b = 7 \)，\( b = 7 - a \)。代入 \( a b = 10 \)： \[ a(7 - a) = 10 \implies a^2 - 7a + 10 = 0 \implies (a - 2)(a - 5) = 0 \] 因此 \( a = 2 \) 或 \( a = 5 \)，得到两个有序数对： \[ (a, b) = (2, 5) \quad \text{或} \quad (a, b) = (5, 2) \]
第 3 部分
分配 \( -A \)： \[ -A (A^{-1} + I_n) + I_n = -A A^{-1} - A I_n + I_n \] 应用 \( A A^{-1} = I_n \) 和 \( A I_n = A \)： \[ = -I_n - A + I_n = -A \]
第 4 部分
展开乘积： \[ (B - A^{-1})(B^{-1} + A) = B B^{-1} + B A - A^{-1} B^{-1} - A^{-1} A \] 应用 \( B B^{-1} = I_n \) 和 \( A^{-1} A = I_n \)： \[ = I_n + B A - A^{-1} B^{-1} - I_n = B A - A^{-1} B^{-1} \] 利用 \( B A = C \) 和 \( (B A)^{-1} = A^{-1} B^{-1} = C^{-1} \)： \[ = C - C^{-1} \]