矩阵的乘法与幂

下面通过定义、规则、示例和带交互式解答的练习题，介绍矩阵的乘法以及矩阵的幂。

行矩阵与列矩阵的乘法

设 \( A \) 为 \( 1 \times p \) 的行矩阵，元素为 \( a_{1j} \)，\( B \) 为 \( p \times 1 \) 的列矩阵，元素为 \( b_{j1} \)。乘积 \( A B \) 是一个 \( 1 \times 1 \) 矩阵，定义为：

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{p1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1p}b_{p1} \end{bmatrix} \]

例 1

矩阵 \( A \) 和 \( B \) 定义为：

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}. \]

求矩阵 \( A B \)。

查看解答

将对应元素相乘并相加：

\[ A B = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-1)(1) + (3)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 1 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}. \]

矩阵的乘法

现在将行乘列的思想应用到更一般的矩阵上。设 \( A \) 为 \( m \times p \) 矩阵，\( B \) 为 \( p \times n \) 矩阵。

设 \( R_1, R_2, \dots, R_m \) 为 \( A \) 的行，\( C_1, C_2, \dots, C_n \) 为 \( B \) 的列，写为：

\[ A = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_m \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & \dots & C_n \end{bmatrix}. \]

乘积 \( A B \) 是 \( m \times n \) 矩阵：

\[ A B = \begin{bmatrix} R_1 \cdot C_1 & R_1 \cdot C_2 & \dots & R_1 \cdot C_n \\ R_2 \cdot C_1 & R_2 \cdot C_2 & \dots & R_2 \cdot C_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_m \cdot C_1 & R_m \cdot C_2 & \dots & R_m \cdot C_n \end{bmatrix}. \]

条件： \( A \) 的列数必须等于 \( B \) 的行数，即 \( A \) 为 \( m \times p \)，\( B \) 为 \( p \times n \)。

例 2

求乘积：

\[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}. \]

查看解答

左矩阵有 2 行（\( R_1, R_2 \)），右矩阵有 2 列（\( C_1, C_2 \)）。它们的乘积为：

\[ \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1 & C_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \cdot C_1 & R_1 \cdot C_2 \\ R_2 \cdot C_1 & R_2 \cdot C_2 \end{bmatrix}. \]

展开：

\[ = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-1)(1) + (0)(-1) & (2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) \\ (1)(2) + (2)(1) + (2)(-1) & (1)(-2) + (2)(0) + (2)(2) \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}. \]

矩阵的幂

方阵 \( A \) 的幂定义如下：

\( A^0 = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
\( A^n = A \cdot A \cdots A \)（\( n \) 次），其中 \( n \) 是正整数。

对于正整数 \( m \) 和 \( n \)，标准指数法则适用：

\( A^m \cdot A^n = A^{m+n} \)
\( (A^m)^n = A^{m n} \)

矩阵乘法的性质

乘积 \( A B \) 有定义当且仅当 \( A \) 的列数等于 \( B \) 的行数。
一般来说，矩阵乘法不满足交换律：\( A B \neq B A \)。
矩阵乘法满足结合律：\( (A B) C = A (B C) \)，只要乘积有定义。
矩阵乘法对加法满足分配律：\( A (B + C) = A B + A C \) 和 \( (A + B) C = A C + B C \)。
单位元：对于任意 \( n \times n \) 矩阵 \( A \)，\( A I_n = I_n A = A \)。
对于实标量 \( \alpha \) 和 \( \beta \)：
- \( \alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B \)
- \( \alpha(\beta A) = (\alpha \beta) A \)
- \( (\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A \)
- \( \alpha(A B) = (\alpha A) B = A (\alpha B) \)

矩阵乘法习题

第 1 部分

矩阵 \( A, B, C, E \) 的阶如下：

\( A: 2 \times 3 \)
\( B: 3 \times 5 \)
\( C: 5 \times 1 \)
\( E: 1 \times 5 \)

以下哪些乘积有定义？

\( A B \)
\( A C \)
\( C E \)
\( E C \)
\( (A B) C \)

查看第 1 部分的解答

\( A B \)：有定义 — \(A\) 的列数 (3) = \(B\) 的行数 (3)。
\( A C \)：无定义 — \(A\) 的列数 (3) ≠ \(C\) 的行数 (5)。
\( C E \)：有定义 — \(C\) 的列数 (1) = \(E\) 的行数 (1)；结果为 \( 5 \times 5 \)。
\( E C \)：有定义 — \(E\) 的列数 (5) = \(C\) 的行数 (5)；结果为 \( 1 \times 1 \)。
\( (A B) C \)：有定义 — \( A B \) 为 \( 2 \times 5 \)，其列数 (5) = \( C \) 的行数 (5)；结果为 \( 2 \times 1 \)。

第 2 部分

矩阵 \( A, B, C, D, E, F \) 给定为：

\[ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 4 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 9 & -5 & 7 \end{bmatrix}, \] \[ D = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}, \qquad E = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \end{bmatrix}, \qquad F = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}. \]

计算以下乘积（如果可能）：

\( A B \)
\( B C \)
\( A D \)
\( E F \)
\( F E \)

查看第 2 部分的解答

\( A B \) 有定义，等于： \[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 4 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 4 & -5 \end{bmatrix}. \]
\( B C \) 无定义 — \(B\) 的列数 (3) ≠ \(C\) 的行数 (1)。
\( A D \) 无定义 — \(A\) 的列数 (3) ≠ \(D\) 的行数 (2)。
\( E F \) 无定义 — \(E\) 的列数 (1) ≠ \(F\) 的行数 (3)。
\( F E \) 有定义，等于： \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -25 \\ -65 \\ 56 \end{bmatrix}. \]

第 3 部分

求 \( x \) 和 \( y \)，使得：

\[ \begin{bmatrix} x + y & -2 \\ x - y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 12 & -8 \end{bmatrix}. \]

查看第 3 部分的解答

首先计算左边的乘积：

\[ \begin{bmatrix} x + y & -2 \\ x - y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x+y) + 0 & -(x+y) + 4 \\ 2(x-y) + 0 & -(x-y) - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x + 2y & -x - y + 4 \\ 2x - 2y & -x + y - 2 \end{bmatrix}. \]

令其等于右边：

\[ \begin{bmatrix} 2x + 2y & -x - y + 4 \\ 2x - 2y & -x + y - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 12 & -8 \end{bmatrix}. \]

令对应元素相等得到两个独立方程：

\[ 2x + 2y = 8 \quad \Rightarrow \quad x + y = 4, \] \[ 2x - 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad x - y = 6. \]

（其余两个元素产生相同的两个方程。）相加得：

\[ 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5, \]

代回得 \( y = 4 - x = -1 \)。

答案： \( x = 5 \)，\( y = -1 \)。

第 4 部分

计算以下矩阵的幂：

\[ \left( \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right)^{10}. \]

查看第 4 部分的解答

提出标量 \( 2 \)：

\[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}. \]

现在将整个表达式提升到 10 次幂：

\[ \left( \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right)^{10} = 2^{10} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right)^{10}. \]

内部矩阵是一个交换第 2 行和第 3 行的初等矩阵。交换两次回到单位矩阵，所以：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{2} = I_3, \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{10} = I_3. \]

因此：

\[ 2^{10} I_3 = 1024 I_3 = \begin{bmatrix} 1024 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1024 \end{bmatrix}. \]

答案： \( \begin{bmatrix} 1024 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1024 \end{bmatrix} \)。