正交矩阵 – 示例与解答

探索正交矩阵的概念及其性质。下面提供清晰的定义、逐步示例以及带详细解答的练习题。

正交矩阵的定义

列向量构成标准正交集的 \( n \times n \) 矩阵称为正交矩阵。

回顾一下，一组向量是标准正交的，如果每个向量都是单位向量（其长度为 \( 1 \)），且每个向量与集合中其他所有向量都正交。

等价地，\( Q \) 是正交的当且仅当 \[ Q^{T} Q = Q\,Q^{T} = I_n. \]

以下是正交矩阵的示例：

a) \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

b) \[ \begin{bmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{10}} & 0 & -\tfrac{3}{\sqrt{10}} \\ \tfrac{3}{\sqrt{10}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{10}} \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

c) \[ \begin{bmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{6}} & 0 & \tfrac{5}{\sqrt{30}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{6}} & -\tfrac{2}{\sqrt{5}} & -\tfrac{1}{\sqrt{30}} \\ \tfrac{2}{\sqrt{6}} & \tfrac{1}{\sqrt{5}} & -\tfrac{2}{\sqrt{30}} \end{bmatrix} \]

d) \[ \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix} \]

正交矩阵的性质

下面列出正交矩阵最重要的性质。如果 \( Q \) 是正交矩阵，则：

  1. \( Q^{-1} = Q^{T} \)。这是最重要的性质：逆就是转置。
  2. \( Q \) 的行构成标准正交集。
  3. \( Q^{-1} \) 也是正交矩阵。
  4. \( \det(Q) = \pm 1 \)。
  5. 如果 \( \lambda \) 是 \( Q \) 的特征值，则 \( |\lambda| = 1 \)。
  6. 如果 \( Q_1 \) 和 \( Q_2 \) 是 \( n \times n \) 正交矩阵，则乘积 \( Q_1 Q_2 \) 也是正交的。
关键思想：正交矩阵保持长度和角度。如果 \( Q \) 是正交的，则对于任意向量 \( x \)，\( \|Qx\| = \|x\| \)，且 \( Q \) 将标准正交基映射为标准正交基。

示例与解答

例 1 — 正交矩阵的乘积

下面的矩阵 \( Q_1 \) 和 \( Q_2 \) 是正交的。验证乘积 \( Q_1 Q_2 \) 也是正交的（上述性质 6）。

\[ Q_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad Q_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. \]

查看例 1 的解答

首先计算乘积 \( Q_1 Q_2 \)：

\[ Q_1 Q_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

设 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \) 为 \( Q_1 Q_2 \) 的列：

\[ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

每列的范数为 \( 1 \)：

  • \( \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_3\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \)

且任意两个不同列正交：

  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0 + 0 + 0 = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = 0 + 0 + 0 = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = 0 + 0 + 0 = 0 \)

\( Q_1 Q_2 \) 的列是标准正交的，所以 \( Q_1 Q_2 \) 是正交的。

例 2 — 逆等于转置

使用计算器求正交矩阵 \( Q \) 的逆，并验证性质 1（\( Q^{-1} = Q^{T} \)）。

\[ Q = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}. \]

查看例 2 的解答

使用矩阵计算器，我们求得逆：

\[ Q^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

现在计算 \( Q \) 的转置：

\[ Q^{T} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

由于 \( Q^{-1} = Q^{T} \)，性质 1 得证。

例 3 — 求正交性常数

求矩阵 \( Q \) 中的实常数 \( a \) 和 \( b \)，使得 \( Q \) 是正交的。

\[ Q = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & a \\ 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & b \end{bmatrix}. \]

查看例 3 的解答

设 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \) 为 \( Q \) 的列：

\[ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}. \]

\( Q \) 正交必须满足两个条件。

1) 每列的范数为 \( 1 \)：

  • \( \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{0 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_3\| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \quad \text{(I)} \)

2) 任意两个不同列正交：

  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = \tfrac{a}{\sqrt{2}} + \tfrac{b}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow a = -b \quad \text{(II)} \)

将 \( a = -b \) 代入 (I)： \[ \sqrt{(-b)^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = 1 \;\Rightarrow\; b = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}. \]

两个有效解为：

  • \( a = -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \) 且 \( b = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \)，或
  • \( a = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \) 且 \( b = -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \)。

练习题

第 1 部分 — 验证五条性质

矩阵 \( Q \) 是正交的。验证性质 1 至 5：

\[ Q = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

查看第 1 部分的解答

性质 1： \( Q^{-1} = Q^{T} \)。

\[ Q^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad Q^{T} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

因此 \( Q^{-1} = Q^{T} \)。

性质 2： \( Q \) 的行构成标准正交集。

行向量为 \( \mathbf{v}_1 = (0, 1, 0)^T \)， \( \mathbf{v}_2 = (-1, 0, 0)^T \)， \( \mathbf{v}_3 = (0, 0, 1)^T \)。每个向量的范数均为 \( 1 \)，所有两两内积均为 \( 0 \)。

性质 3： \( Q^{-1} \) 也是正交的。

由性质 1，\( Q^{-1} = Q^{T} \)，其列为 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \)，我们刚刚验证了它们构成标准正交集。因此 \( Q^{-1} \) 是正交的。

性质 4： \( \det(Q) = \pm 1 \)。

\[ \det(Q) = -1 \cdot \det\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (-1) = 1. \]

性质 5： 每个特征值满足 \( |\lambda| = 1 \)。

\[ \det(Q - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda^2 + 1) = 0. \]

所以 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = i \)，\( \lambda_3 = -i \)，每个的模均为 \( 1 \)。

第 2 部分 — 识别正交矩阵

以下哪些矩阵是正交的？

\[ A = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{10}} & -\tfrac{3}{\sqrt{10}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \tfrac{3}{\sqrt{10}} & \tfrac{1}{\sqrt{10}} & 0 \end{bmatrix}. \]

查看第 2 部分的解答

矩阵 A 和 C 是正交的。

矩阵 B 不是正交的：其第 2 列和第 3 列不正交（点积为 \( 1 \)），且第 3 列是零向量。

第 3 部分 — 求所有正交矩阵

求所有形如 \( A = \begin{bmatrix} p & q \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & r \end{bmatrix} \) 的正交矩阵。

查看第 3 部分的解答

\( A \) 正交必须满足两个条件。

1) 两列都是单位向量：

\[ \sqrt{p^2 + \tfrac{1}{3}} = 1 \quad \text{(I)}, \qquad \sqrt{q^2 + r^2} = 1 \quad \text{(II)}. \]

由 (I)：\( p^2 = \tfrac{2}{3} \)，所以 \( p = \pm \sqrt{\tfrac{2}{3}} \)。

2) 两列正交：

\[ pq + \tfrac{r}{\sqrt{3}} = 0 \quad \text{(III)}. \]

情况 \( p = \sqrt{2/3} \)：

由 (III)：\( q = -\tfrac{\sqrt{2} r}{2} \)。代入 (II)： \[ \sqrt{\tfrac{2r^2}{4} + r^2} = \sqrt{\tfrac{3r^2}{2}} = 1 \;\Rightarrow\; r = \pm \sqrt{\tfrac{2}{3}}. \]

对应的数对为 \( (r = \sqrt{2/3}, q = -\sqrt{3}/3) \) 和 \( (r = -\sqrt{2/3}, q = \sqrt{3}/3) \)。

情况 \( p = -\sqrt{2/3} \)：

类似地，得到 \( (r = \sqrt{2/3}, q = \sqrt{3}/3) \) 和 \( (r = -\sqrt{2/3}, q = -\sqrt{3}/3) \)。

四个正交矩阵为：

\[ \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{2}{3}} & -\tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \sqrt{\tfrac{2}{3}} \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{2}{3}} & \tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & -\sqrt{\tfrac{2}{3}} \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -\sqrt{\tfrac{2}{3}} & \tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \sqrt{\tfrac{2}{3}} \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -\sqrt{\tfrac{2}{3}} & -\tfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & -\sqrt{\tfrac{2}{3}} \end{bmatrix}. \]

第 4 部分 — 正交矩阵的逆

求矩阵 \( A \) 的逆：

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & \tfrac{5}{3\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3} \\ \tfrac{1}{\sqrt{5}} & -\tfrac{4}{3\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3} \\ \tfrac{2}{\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3\sqrt{5}} & -\tfrac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

查看第 4 部分的解答

不用行化简求逆，我们先验证 \( A \) 是正交的。三个列 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \) 满足：

  • \( \|\mathbf{v}_1\|^2 = 0 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{4}{5} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_2\|^2 = \tfrac{25}{45} + \tfrac{16}{45} + \tfrac{4}{45} = 1 \)
  • \( \|\mathbf{v}_3\|^2 = \tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{9} = 1 \)

且所有两两点积为零：

  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0 - \tfrac{4}{15} + \tfrac{4}{15} = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = 0 + \tfrac{2}{3\sqrt{5}} - \tfrac{2}{3\sqrt{5}} = 0 \)
  • \( \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = \tfrac{10}{9\sqrt{5}} - \tfrac{8}{9\sqrt{5}} - \tfrac{2}{9\sqrt{5}} = 0 \)

所以 \( A \) 是正交的，且 \( A^{-1} = A^{T} \)：

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & \tfrac{1}{\sqrt{5}} & \tfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \tfrac{5}{3\sqrt{5}} & -\tfrac{4}{3\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3\sqrt{5}} \\ \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

更多参考与链接