Cette page introduit les équations différentielles du second ordre, en mettant l'accent sur leur forme générale et sur les équations homogènes à coefficients constants. Ces équations apparaissent fréquemment en physique, en ingénierie et en mathématiques appliquées.
Forme générale
Une équation différentielle linéaire du second ordre peut s'écrire sous la forme :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Si \( R(x) \neq 0 \), l'équation est dite non homogène.
Si \( R(x) = 0 \), l'équation devient :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]et est appelée équation différentielle linéaire homogène du second ordre.
Solution générale de l'équation homogène
Si \( y_1(x) \) et \( y_2(x) \) sont deux solutions linéairement indépendantes de :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]alors la solution générale est :
où \( A \) et \( B \) sont des constantes arbitraires.
Remarque : Deux fonctions sont linéairement indépendantes si aucune n'est un multiple constant de l'autre.
Équations du second ordre à coefficients constants
Les équations homogènes à coefficients constants ont la forme :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \]où \( b \) et \( c \) sont des constantes.
Nous cherchons des solutions de la forme \( y = e^{kx} \). Alors :
\[ \frac{dy}{dx} = ke^{kx}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} \]En substituant dans l'équation différentielle, on obtient :
\[ k^2e^{kx} + bke^{kx} + ce^{kx} = 0 \]En mettant \( e^{kx} \) en facteur :
\[ e^{kx}(k^2 + bk + c) = 0 \]Puisque \( e^{kx} \neq 0 \), nous obtenons l'équation caractéristique (auxiliaire) :
Les racines sont données par la formule quadratique :
\[ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2} \]Soit \( D = b^2 - 4c \) le discriminant. Trois cas se présentent :
- \( D > 0 \) : deux racines réelles distinctes
- \( D = 0 \) : une racine réelle répétée
- \( D < 0 \) : racines complexes conjuguées
Chaque cas conduit à une forme différente de la solution générale.
Exemples résolus et références
Explorez des exemples résolus étape par étape pour chaque cas :
- Racines réelles distinctes (\( D > 0 \))
- Racines répétées (\( D = 0 \))
- Racines complexes (\( D < 0 \))