Apprenez à trouver l'aire d'une ellipse en utilisant les coordonnées polaires grâce à des déductions détaillées étape par étape et à la substitution trigonométrique.
Équation de l'ellipse en coordonnées polaires
L'équation d'une ellipse centrée à l'origine est donnée par :
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (I) \]La conversion des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires est donnée par :
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]Substituons les formules de conversion dans l'équation (I) :
\[ \dfrac{r^2 \cos^2 \theta}{a^2} + \dfrac{r^2 \sin^2 \theta}{b^2} = 1 \]Divisons tous les termes de l'équation ci-dessus par \( \cos^2 \theta \) et simplifions :
\[ \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{r^2 \tan^2 \theta}{b^2} = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{\tan^2 \theta}{b^2} \right) = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{b^2 + a^2 \tan^2 \theta}{a^2 b^2} \right) = \sec^2 \theta \]Isolons \( r^2 \) :
Aire de l'ellipse en coordonnées polaires
L'aire \( A \) en coordonnées polaires délimitée par une courbe est donnée par la formule :
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 \, d\theta \]Substituons \( r^2 \) de l'ellipse trouvé ci-dessus dans l'intégrale de l'aire :
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \, d\theta \qquad (II) \]Utilisons la méthode de substitution trigonométrique qui transforme \( a \tan \theta \) en \( b \tan \alpha \) afin de pouvoir factoriser le dénominateur et d'effectuer d'autres simplifications :
\[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( \theta \), en utilisant la règle de chaîne sur le côté gauche :
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d\alpha}{d\theta} = a \sec^2 \theta \]Ce qui donne :
\[ \sec^2 \theta \, d\theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]Ou :
\[ d\theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \, d\alpha \qquad (IV) \]Limites d'intégration :
D'après (III) ci-dessus, nous pouvons écrire \( \alpha = \arctan \left( \dfrac{a}{b} \tan \theta \right) \).
- Pour \( \theta = 0 \), \( \alpha = 0 \)
- Pour \( \theta = 2\pi \), \( \alpha = 2\pi \)
Substituons \( d\theta \) et les limites d'intégration dans l'intégrale :
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + b^2 \tan^2 \alpha} \left( \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \right) \, d\alpha \]Mettons \( b^2 \) en facteur au dénominateur, sortons toutes les constantes de l'intégrale et simplifions :
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]Utilisons l'identité trigonométrique \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) au dénominateur et simplifions :
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} d\alpha \]Évaluons l'intégrale :
\[ A = \dfrac{ab}{2} \left[ \alpha \right]_0^{2\pi} \]Simplifions pour obtenir la formule finale de l'aire d'une ellipse :