Trouvez le volume d'une sphère à l'aide des intégrales et de la méthode des disques.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Problème et démonstration
Problème : Trouver le volume d'une sphère générée par la rotation du demi-cercle \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) autour de l'axe des x.
Le graphique de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) de \( x = -R \) à \( x = R \) est présenté ci-dessous. Soit \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \). Le volume est donné par la formule 1 dans Volume d'un solide de révolution :
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
Mise en place de l'intégrale définie avec les bornes de \( -R \) à \( R \) :
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]Substituez \( f(x) \) par son expression \( \sqrt{R^2 - x^2} \) :
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]Simplifiez :
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]Intégrez :
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]Évaluez l'intégrale :
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]Ceci est la formule bien connue du volume d'une sphère. La rotation d'un demi-cercle de rayon \( R \) autour de l'axe des x génère une sphère de rayon \( R \).