Trouvez la formule du volume d'une pyramide à base carrée à l'aide des intégrales en analyse.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Problème et démonstration
Problème : Une pyramide est présentée dans la figure ci-dessous. Sa base est un carré de côté \( a \) et est orthogonale à l'axe des y. La hauteur de la pyramide est \( H \). Utilisez les intégrales et leurs propriétés pour trouver le volume de la pyramide à base carrée en fonction de \( a \) et de \( H \).
Solution du problème :
Positionnons d'abord la pyramide de telle sorte que deux côtés opposés de la base carrée soient perpendiculaires à l'axe des x et que le centre de sa base se trouve à l'origine du système d'axes x-y. Si nous regardons la pyramide dans une direction orthogonale au plan x-y, elle apparaîtra comme une forme bidimensionnelle telle que montrée ci-dessous. \( AC \) est l'apothème (hauteur slant).
Soit \( x = A'B' \) la longueur de la moitié du côté du carré à la hauteur \( y \). L'aire \( A \) du carré à la hauteur \( y \) est donnée par :
\[ A(x) = (2x)^2 \]Le volume est trouvé en additionnant tous les volumes \( A \, dy \) qui constituent la pyramide de \( y = 0 \) à \( y = H \). Par conséquent :
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \] \[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]Utilisons maintenant le fait que les triangles \( ABC \) et \( AB'C' \) sont semblables et que, par conséquent, les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles pour écrire :
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]Résolvons l'équation ci-dessus pour \( x \) afin d'obtenir :
\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]Substituons maintenant \( x \) dans l'intégrale donnant le volume pour obtenir :
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]Définissons \( t \) par :
\[ t = H - y \quad \text{et} \quad dt = -dy \]Substituez et changez les limites d'intégration pour exprimer le volume comme suit :
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \] \[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]Évaluez l'intégrale et simplifiez :
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]Le volume d'une pyramide à base carrée est donné par l'aire de la base multipliée par le tiers de la hauteur de la pyramide.