Qu'est-ce que le théorème de Rolle en analyse ?

Le théorème de Rolle stipule que si une fonction f(x) est continue sur un intervalle fermé [a, b], dérivable sur l'intervalle ouvert (a, b) et satisfait f(a) = f(b), alors il existe au moins un nombre c dans (a, b) tel que f'(c) = 0.

Questions et exemples sur le théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des accroissements finis. Il est abordé ici à l'aide d'exemples et de questions.

Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.

Théorème de Rolle

Le théorème de Rolle est une conséquence directe du théorème des accroissements finis où, sous les conditions que \( f(x) \) est une fonction continue sur l'intervalle \( [a, b] \) et dérivable sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \), il existe au moins une valeur \( c \) de \( x \) telle que :

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Maintenant, si la condition \( f(a) = f(b) \) est également satisfaite, alors l'expression précédente se simplifie en : \( f'(c) = 0 \).

En d'autres termes, sous ces trois conditions, nous pouvons toujours trouver une tangente au graphe de \( f \) qui est horizontale (pente = \( f'(c) = 0 \)).

Théorème de Rolle

Si \( f(x) \) est :
1) une fonction continue sur l'intervalle \( [a, b] \)
2) dérivable sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \)
3) et \( f(a) = f(b) \)

alors il existe au moins une valeur \( c \) de \( x \) dans l'intervalle \( (a, b) \) telle que : \[ f'(c) = 0 \]

Exemples avec solutions détaillées

Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.

Exemple 1

Le graphe de \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) pour \( 1 \le x \le 5 \) est présenté ci-dessous. \( f(1) = f(5) = -1 \) et \( f \) est continue sur \( [1, 5] \) et dérivable sur \( (1, 5) \). Par conséquent, d'après le théorème de Rolle, il existe au moins une valeur de \( x = c \) telle que \( f'(c) = 0 \).

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\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

Résolvons l'équation ci-dessus pour obtenir :

\[ c = 3 \]

Par conséquent, en \( x = 3 \), il existe une tangente au graphe de \( f \) dont la pente est égale à zéro (ligne horizontale), comme le montre la figure 1 ci-dessous.

utilisation du théorème de Rolle exemple 1 — Figure 1. Théorème de Rolle, Exemple 1

Exemple 2

Le graphe de \( f(x) = \sin(x) + 2 \) pour \( 0 \le x \le 2\pi \) est présenté ci-dessous. \( f(0) = f(2\pi) = 2 \) et \( f \) est continue sur \( [0, 2\pi] \) et dérivable sur \( (0, 2\pi) \). Par conséquent, d'après le théorème de Rolle, il existe au moins une valeur (il peut y en avoir plus d'une !) de \( x = c \) telle que \( f'(c) = 0 \).

Afficher la solution de l'exemple 2

\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

L'équation ci-dessus a deux solutions sur l'intervalle \( [0, 2\pi] \) :

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{et} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

Par conséquent, en \( x = \dfrac{\pi}{2} \) et en \( x = \dfrac{3\pi}{2} \), il existe des tangentes au graphe dont la pente est égale à zéro (lignes horizontales), comme le montre la figure 2 ci-dessous.

utilisation du théorème de Rolle exemple 2, deux tangentes — Figure 2. Théorème de Rolle, Exemple 2 avec deux tangentes

Exemple 3

La fonction \( f \) de la figure 3 ne satisfait pas le théorème de Rolle : bien qu'elle soit continue et que \( f(-1) = f(3) \), la fonction n'est pas dérivable en \( x = 1 \), et par conséquent \( f'(c) = 0 \) avec \( c \) dans l'intervalle \( (-1, 3) \) n'est pas garanti. En fait, il est facile de voir qu'il n'y a pas de tangente horizontale au graphe de \( f \) sur l'intervalle \( (-1, 3) \).

Graphes d'une fonction pour laquelle au moins une des conditions n'est pas satisfaite — Figure 3. Graphe d'une fonction ne satisfaisant pas la condition de dérivabilité du théorème de Rolle

Questions pratiques avec solutions détaillées

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Question 1

Laquelle des fonctions ci-dessous satisfait toutes les trois conditions du théorème de Rolle ?

a) \( f(x) = \cos(x) \), pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \)
b) \( g(x) = |x - 2| \), pour \( x \) dans \( [0, 4] \)
c) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \), pour \( x \) dans \( [-1, 1] \)
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \)

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a) \( f(0) = 1 \) et \( f(2\pi) = 1 \), par conséquent \( f(0) = f(2\pi) \). \( f \) est continue sur \( [0, 2\pi] \) et dérivable sur \( (0, 2\pi) \). La fonction \( f \) satisfait toutes les conditions du théorème de Rolle.

b) La fonction \( g \) a un graphe en forme de V avec un sommet en \( x = 2 \) et n'est donc pas dérivable en \( x = 2 \). La fonction \( g \) ne satisfait pas toutes les conditions du théorème de Rolle.

c) La fonction \( h \) n'est pas définie en \( x = 0 \). La fonction \( h \) ne satisfait pas toutes les conditions du théorème de Rolle.

d) \( k(x) = |\sin(x)| \) pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \). Le graphe de la fonction \( k \) est présenté ci-dessous et révèle que la fonction \( k \) n'est pas dérivable en \( x = \pi \). La fonction \( k \) ne satisfait pas toutes les conditions du théorème de Rolle.

Graphe de k(x) = |sin(x)|, pour x dans [0, 2π] — Figure 4. Graphe de \( k(x) = |\sin(x)| \), pour \( x \) dans \( [0, 2\pi] \)

Question 2

Vérifiez que la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) sur l'intervalle \( [1, 3] \) satisfait toutes les conditions du théorème de Rolle, puis trouvez toutes les valeurs de \( x = c \) telles que \( f'(c) = 0 \).

Afficher la solution de la question 2

\( f \) est une fonction polynomiale et est par conséquent continue sur l'intervalle \( [1, 3] \) et dérivable sur l'intervalle \( (1, 3) \). De plus, \( f(1) = f(3) = 0 \), et par conséquent la fonction \( f \) satisfait les trois conditions du théorème de Rolle, garantissant l'existence d'au moins une valeur de \( x = c \) telle que \( f'(c) = 0 \).

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

Le graphe ci-dessous montre \( f \), et la tangente en \( x = c = 2 \) est horizontale avec \( f'(2) = 0 \).

utilisation du théorème de Rolle question 2, f(x) = x^2 - 4x + 3 — Figure 5. Théorème de Rolle, Question 2, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

Question 3

Vérifiez que la fonction \( g(x) = \cos(x) \) sur l'intervalle \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) satisfait toutes les conditions du théorème de Rolle, puis trouvez toutes les valeurs \( x = c \) telles que \( g'(c) = 0 \).

Afficher la solution de la question 3

La fonction \( g \) est une fonction cosinus et est par conséquent continue sur l'intervalle \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) et dérivable sur l'intervalle \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \). De plus :

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

Par conséquent, la fonction \( g \) satisfait toutes les trois conditions du théorème de Rolle, et il existe au moins une valeur de \( x = c \) telle que \( g'(c) = 0 \).

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

Les solutions sur l'intervalle \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) sont :

\[ c_1 = 0 \quad \text{et} \quad c_2 = \pi \]

Le graphe ci-dessous montre \( g \) et les tangentes en \( x = c_1 = 0 \) et \( x = c_2 = \pi \) sont horizontales, avec \( g'(0) = 0 \) et \( g'(\pi) = 0 \).

utilisation du théorème de Rolle question 3, g(x) = cos(x) — Figure 6. Théorème de Rolle, Question 3, \( g(x) = \cos(x) \)