La preuve de la dérivée de \( \sin(x) \) est présentée en utilisant la définition de la dérivée. La dérivée d'une fonction sinus composée est également présentée, incluant des exemples avec leurs solutions.
Preuve de la dérivée de sin(x) en utilisant la définition
La définition de la dérivée \( f' \) d'une fonction \( f \) est donnée par :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Soit \( f(x) = \sin(x) \) et écrivons la dérivée de \( \sin(x) \) sous forme de limite :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \]Utilisons la formule \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \) pour réécrire la dérivée :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \]Réécrivons \( f'(x) \) comme suit :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \]Utilisons le théorème : la limite de la somme de fonctions est égale à la somme des limites de ces fonctions :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \]Mettons en facteur les termes indépendants de \( h \) :
\[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \]Nous utilisons maintenant les limites trigonométriques standards suivantes :
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \](démontré via le théorème des gendarmes)
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \](démontré dans
Substituons ces limites dans l'expression de \( f'(x) \) :
\[ f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x) \]Graphique de sin(x) et de sa dérivée
Les graphiques de \( \sin(x) \) et de sa dérivée sont représentés ci-dessous. Notez que tout minimum ou maximum de \( \sin(x) \) correspond à un zéro de la dérivée \( \cos(x) \). De plus, sur tout intervalle où \( \sin(x) \) est croissante, la dérivée est positive, et où \( \sin(x) \) est décroissante, la dérivée est négative.
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Dérivée de la fonction composée sin(u(x))
Considérons la fonction composée sinus d'une autre fonction \( u(x) \). Utilisons la règle de chaîne de dérivation pour écrire :
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \]Exemples avec solutions
Exemples résolus : Dérivation de fonctions sinus composées
Trouvez la dérivée des fonctions sinus composées suivantes :
- \( f(x) = \sin(x^2 - x) \)
- \( g(x) = \sin(\sin x) \)
- \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)
Solutions :
-
Soit \( u(x) = x^2 - x \), alors \( \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 \).
En appliquant la règle pour la fonction sinus composée : \[ f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x) \] -
Soit \( u(x) = \sin x \), alors \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
En appliquant la règle : \[ g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x) \] - Soit \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \). En utilisant la règle du quotient : \[ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2} \] En appliquant la règle : \[ h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \]