Exemples avec des solutions détaillées et des exercices permettant de résoudre des questions de limites liées à des formes indéterminées telles que :
\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Théorème
Une seconde version de la règle de L'Hôpital nous permet de remplacer le problème de limite :
\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]par un autre problème plus simple à résoudre.
Si \( \lim f(x) = \infty \) et \( \lim g(x) = \infty \) et si \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) a une valeur finie \( L \), ou est de la forme \( \infty \) ou \( -\infty \), alors :
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]Dans ce qui précède, \( \lim \) désigne \( \lim_{x \to a} f(x) \), \( \lim_{x \to a^+} f(x) \), \( \lim_{x \to a^-} f(x) \), \( \lim_{x \to \infty} f(x) \), ou \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]Afficher la solution
Puisque :
\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]et
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]nous obtenons la forme indéterminée :
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]La règle de L'Hôpital peut être utilisée pour évaluer le problème de limite donné comme suit :
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]Évaluez les dérivées au numérateur et au dénominateur :
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]Évaluez les limites au numérateur et au dénominateur :
\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]Nous évaluons maintenant la limite donnée :
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]Exemple 2
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]Afficher la solution
Notez que :
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]et
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]C'est la forme indéterminée \( \infty \cdot 0 \). L'idée est de la convertir en la forme indéterminée \( \dfrac{\infty}{\infty} \) et d'utiliser le théorème de L'Hôpital. Notez que :
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]Nous appliquons la règle de L'Hôpital :
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]Exemple 3
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]Afficher la solution
Notez que \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \) et la limite ci-dessus est donnée par :
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]ce qui est de la forme indéterminée \( 1^\infty \). Si nous posons \( t = 1 / x \), la limite ci-dessus peut s'écrire :
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]Notez que lorsque \( x \to \infty \), \( t \to 0^+ \).
Soit \( y = (1 + t)^{1/t} \) et trouvons la limite de \( \ln y \) lorsque \( t \) tend vers 0 :
\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]L'avantage d'utiliser \( \ln y \) est que :
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]La limite a la forme indéterminée \( 0 / 0 \), et la première règle de L'Hôpital peut être appliquée :
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]Puisque la limite de \( \ln y = 1 \), la limite de \( y \) est \( e^1 = e \). Par conséquent :
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]Exemple 4
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]Afficher la solution
Notez que :
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]et
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]Cette limite a la forme indéterminée \( \infty - \infty \) et doit être convertie sous une autre forme en regroupant les termes :
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]Nous avons maintenant la forme indéterminée \( 0 / 0 \) et pouvons utiliser le théorème de L'Hôpital :
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]Nous obtenons à nouveau la forme indéterminée \( 0 / 0 \) et appliquons le théorème de L'Hôpital une nouvelle fois :
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]Exemple 5
Trouvez la limite :
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]Afficher la solution
Nous avons la forme indéterminée \( 0^0 \). Soit \( y = x^x \) et \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). Trouvons maintenant la limite de \( \ln y \) :
\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]La limite ci-dessus a la forme indéterminée \( 0 \cdot \infty \). Nous la convertissons comme suit :
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]Elle se présente maintenant sous la forme indéterminée \( \dfrac{\infty}{\infty} \) et nous pouvons utiliser le théorème de L'Hôpital :
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]La limite de \( \ln y = 0 \), donc la limite de \( y = x^x \) est égale à :
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]Exercices
Calculez les limites suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour vérifier vos réponses.
Exercice 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
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Exercice 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
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Exercice 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
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Exercice 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)