Die Ableitungen von Parametergleichungen werden mit Beispielen und deren Lösungen vorgestellt. Einige Anwendungen zur Bestimmung von Tangentensteigungen und der Krümmung sind ebenfalls enthalten. Entdecken Sie weitere Fragen mit Lösungen unten.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Erste und zweite Ableitung von Parametergleichungen
Gegeben seien Parametergleichungen der Form:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) \\ y(t) \end{aligned} \right. \]Was ist die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Finden Sie zunächst die Ableitung \( \dfrac{dy}{dt} \) unter Verwendung der Kettenregel der Differenziation:
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]Wenn man beide Seiten durch \( \dfrac{dx}{dt} \) teilt und vereinfacht, ergibt sich:
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{falls} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I) \]Die zweite Ableitung ist definiert als:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]Ersetzt man in Formel (I) oben \( y \) durch \( \dfrac{dy}{dx} \), erhält man:
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II) \]Beispiele und ihre Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Gegeben seien Parametergleichungen der Form:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2t + 1 \\ y(t) &= t^2 - 2 \end{aligned} \right. \]Was ist die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Bestimmen Sie \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2 \]Verwenden Sie Formel (I), um zu erhalten:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2t}{2} = t \qquad (I) \]Wir können \( \dfrac{dy}{dx} \) auch in Abhängigkeit von \( x \) ausdrücken. Nutzen Sie die Parametergleichung \( x = 2t + 1 \), um \( t \) in Abhängigkeit von \( x \) auszudrücken:
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]Setzen Sie \( t \) in Gleichung (I) ein:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]Beispiel 2
a) Bestimmen Sie die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) und die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) für die Parametergleichungen:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2(t - \sin t) \\ y(t) &= 2(1 - \cos t) \end{aligned} \right. \]Bestimmen Sie zudem die Krümmung (Konkavität) der Kurve.
b) Verwenden Sie ein Grafikprogramm, um die Krümmungsantwort aus Teil a) zu überprüfen.
Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
a)
Bestimmen Sie \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2\sin t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t) \]Verwenden Sie Formel (I) zur Berechnung von \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2\sin t}{2(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \]Berechnen Sie als Nächstes \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \):
\[ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \right) = \dfrac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\dfrac{1}{1 - \cos t} = \dfrac{1}{\cos t - 1} \]Verwenden Sie Formel (II) für die zweite Ableitung:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos t - 1}}{2(1 - \cos t)} = -\dfrac{1}{2(\cos t - 1)^2} \]Die zweite Ableitung ist immer negativ (außer an Stellen, an denen der Nenner 0 wird), weshalb die Kurve der Parametergleichungen rechtsgekrümmt (konkav nach unten) ist.
b)
Der Plot der gegebenen Parametergleichungen (bekannt als Zykloide) bestätigt, dass die Kurve durchgehend konkav nach unten verläuft.
Beispiel 3
a) Zeichnen Sie die Kurve, die durch folgende Parametergleichungen definiert ist:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t \\ y(t) &= \sin t \cos t \end{aligned} \right., \quad t \in [0, 2\pi] \]b) Bestimmen Sie die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \), die Gleichungen der Tangenten im Punkt \( (0, 0) \) und zeichnen Sie diese ein.
Lösung zu Beispiel 3 anzeigen
a)
b)
Bestimmen Sie die Ableitungen \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t, \quad \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]Berechnen Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) mit Formel (I):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]Finden Sie den/die Wert(e) von \( t \) für den/die \( (x, y) = (0, 0) \) gilt, indem Sie \( \sin t = 0 \) und \( \sin t \cos t = 0 \) für \( t \in [0, 2\pi] \) lösen:
\[ t = 0 \quad \text{und} \quad t = \pi \]Werten Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) bei \( t = 0 \) für die erste Steigung \( m_1 \) aus:
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} = 1 \]Werten Sie \( \dfrac{dy}{dx} \) bei \( t = \pi \) für die zweite Steigung \( m_2 \) aus:
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} = -1 \]Gleichungen der Tangenten bei \( (0, 0) \):
\[ y = x \quad \text{und} \quad y = -x \]
Fragen
Üben Sie das Lösen der folgenden Aufgaben. Klicken Sie auf jedes Lösungsfeld, um Ihre Antworten zu überprüfen.
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Frage 1
a) Gegeben sind die Parametergleichungen \( \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \cos t + 2 \\ y(t) &= \sin t - 1 \end{aligned} \right., t \in [\pi, 2\pi] \). Bestimmen Sie die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) bei \( t = \dfrac{3\pi}{2} \).
b) Wie ist die Krümmung der Kurve beschaffen?
c) Zeichnen Sie die Kurve und überprüfen Sie Ihre Antworten. -
Frage 2
Eine Kurve ist in Polarkoordinaten durch \( r = 3 - 3\cos\theta \) gegeben.
a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an die Kurve für \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \).
b) Bestimmen Sie \( \theta \) und \( r \) so, dass die Tangente an die Kurve horizontal verläuft.
c) Zeichnen Sie \( r \) in Polarkoordinaten und überprüfen Sie Ihre Antworten. -
Frage 3
In Polarkoordinaten lautet die Gleichung eines Kreises mit Radius \( R \) um den Ursprung \( r = R \). Bestimmen Sie die kartesischen Koordinaten aller Punkte auf dem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung, in denen die Tangenten eine Steigung von \( \dfrac{1}{2} \) aufweisen.
Lösungen zu den obigen Übungen
Lösung zu Frage 1
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a) Bestimmen Sie \( \dfrac{dy}{dt} \) und \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t, \quad \dfrac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \]Auswertung bei \( t = \dfrac{3\pi}{2} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]b) Berechnen Sie die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \):
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(-\cot t)}{-\sin t} = \dfrac{\csc^2 t}{-\sin t} = -\csc^3 t \]Da \( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \) im Intervall \( (\pi, 2\pi) \) negativ ist, ist die zweite Ableitung \( -\csc^3 t \) positiv, was bedeutet, dass die Kurve auf \( (\pi, 2\pi) \) linksgekrümmt (konkav nach oben) ist.
Lösung zu Frage 2
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a) Unter Verwendung der Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
\[ x(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\cos\theta, \quad y(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\sin\theta \]Berechnung der Ableitungen nach \( \theta \):
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta + \cos\theta(3 - 3\cos\theta), \quad \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin(2\theta) - 3\sin\theta \]Bei \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) ergibt das Einsetzen der Werte die Steigung \( m = \sqrt{2} + 1 \approx 2{,}41 \).
b) Für eine horizontale Tangente setzen Sie \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) (wobei \( \dfrac{dx}{d\theta} \neq 0 \)):
\[ 3\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3\cos^2\theta = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \]Die Lösung liefert \( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) und \( \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) (ausgenommen \( \theta = 0 \), wo der Nenner Null wird). Die entsprechenden Radien betragen \( r = 4{,}5 \).
Lösung zu Frage 3
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Parametergleichungen für den Kreis \( r = 2 \):
\[ x(\theta) = 2\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta \]Die Ableitung ist \( \dfrac{dy}{dx} = -\cot\theta \).
Setzen Sie die Steigung gleich \( \dfrac{1}{2} \):
\[ -\cot\theta = \dfrac{1}{2} \implies \tan\theta = -2 \]Lösen für Winkel in \( [0, 2\pi] \):
\[ \theta_1 \approx 2{,}68 \text{ rad} \, (153{,}55^\circ), \quad \theta_2 \approx 5{,}82 \text{ rad} \, (333{,}46^\circ) \]Bestimmung der kartesischen Koordinaten:
\[ (2\cos\theta_1, 2\sin\theta_1) \approx (-1{,}79, 0{,}89) \] \[ (2\cos\theta_2, 2\sin\theta_2) \approx (1{,}79, -0{,}89) \]