Fragen zu ersten und zweiten Ableitungen mit Antworten (Teil 2)
Infinitesimalrechnung Fragen mit detaillierten Lösungen werden unten vorgestellt.
Das graphische Verhalten einer Funktion \( f \), ihrer ersten Ableitung \( f'(x) \) und ihrer zweiten Ableitung \( f''(x) \) wird analysiert.
Frage 1
Die Graphen einer Funktion \( f \), ihrer ersten Ableitung \( f'(x) \) und ihrer zweiten Ableitung \( f''(x) \) sind unten dargestellt.
Identifizieren Sie, welcher Graph \( f \), \( f'(x) \) und \( f''(x) \) darstellt.
Lösung zu Frage 1
-
Graph (I) liegt vollständig über der \(x\)-Achse ( \( y>0 \) ), daher kann er keine Ableitung der Graphen (II) oder (III) darstellen, da beide Intervalle der Zu- und Abnahme zeigen, welche Vorzeichenwechsel in der Ableitung erfordern.
Folglich repräsentiert Graph (I) die Funktion \( f \).
-
Graph (I) hat ein Maximum bei \( x = 0 \). Also ist \( f'(0) = 0 \).
Unter den verbleibenden Graphen kreuzt nur Graph (III) die \(x\)-Achse bei \( x = 0 \).
Daher repräsentiert Graph (III) \( f'(x) \).
-
Graph (II) muss \( f''(x) \) darstellen.
Er ist in der Nähe von \( x = 0 \) negativ, was darauf hindeutet, dass \( f \) an diesem Punkt konkav nach unten ist, was mit der Form von Graph (I) um \( x = 0 \) herum übereinstimmt.
Frage 2
Der Graph der ersten Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f \) ist unten dargestellt.
a) Für welche Werte von \( x \) ist \( f \) steigend?
b) Für welche Werte von \( x \) ist \( f \) fallend?
c) Bei welchen Werten von \( x \) hat \( f \) ein lokales Maximum oder Minimum?
d) Wo ist der Graph von \( f \) konkav nach oben? Konkav nach unten?
e) Wo liegen die Wendepunkte von \( f \)?
Lösung zu Frage 2
-
a)
Funktion \( f \) ist steigend, wo \( f'(x) > 0 \):
\[
(-\infty, -6.6) \cup (0, 3.6)
\]
-
b)
Funktion \( f \) ist fallend, wo \( f'(x) < 0 \):
\[
(-6.6, 0) \cup (3.6, +\infty)
\]
-
c)
Lokale Maxima treten auf, wo \( f'(x) = 0 \) ist und das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt:
\[
x = -6.6 \quad \text{und} \quad x = 3.6
\]
Lokale Minima treten auf, wo \( f'(x) = 0 \) ist und das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt:
\[
x = 0
\]
-
d)
Die Konkavität wird durch das Vorzeichen von \( f''(x) \) bestimmt.
-
\( f'(x) \) steigt auf \( (-4, 2) \), also ist \( f''(x) > 0 \) und \( f \) ist konkav nach oben auf:
\[
(-4, 2)
\]
-
\( f'(x) \) fällt auf \( (-\infty, -4) \cup (2, +\infty) \), also ist \( f''(x) < 0 \) und \( f \) ist konkav nach unten auf diesen Intervallen.
-
e)
Wendepunkte treten auf, wo \( f''(x) = 0 \) ist und das Vorzeichen wechselt.
Aus dem Graphen ergeben sich diese bei:
\[
x = -4 \quad \text{und} \quad x = 2
\]
Frage 3
Der Graph der zweiten Ableitung \( f''(x) \) einer Funktion \( f \) ist unten dargestellt.
a) Wo hat \( f'(x) \) ein lokales Maximum oder Minimum?
b) Wo ist \( f \) konkav nach oben?
c) Wo ist \( f \) konkav nach unten?
d) Wo sind die Wendepunkte von \( f \)?
Lösung zu Frage 3
-
a)
\( f'(x) \) hat ein lokales Maximum, wo \( f''(x) = 0 \) ist und das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt:
\[
x = 1
\]
\( f'(x) \) hat lokale Minima, wo \( f''(x) = 0 \) ist und das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt:
\[
x = -2 \quad \text{und} \quad x = 3
\]
-
b)
\( f \) ist konkav nach oben, wo \( f''(x) > 0 \):
\[
(-2, 1) \cup (3, +\infty)
\]
-
c)
\( f \) ist konkav nach unten, wo \( f''(x) < 0 \):
\[
(-\infty, -2) \cup (1, 3)
\]
-
d)
Wendepunkte treten auf, wo \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt:
\[
x = -2,\; 1,\; 3
\]
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