Graphische Approximation von Ableitungen - Teil(3)
Approximieren Sie grafisch die erste
Ableitung
einer Funktion \( f \) aus ihrem Graphen. Jede Aufgabe wird von einer detaillierten Lösung begleitet, die die Argumentation erläutert.
Aufgabe 1
Unten ist der Graph einer Funktion \( f \) dargestellt.
a) Unter der Annahme, dass die einzigen Extrema von \( f \) die im Graphen gezeigten sind, für welche Werte von \( x \) gilt
\[
f'(x) = 0 \, ?
\]
b) Unter der Annahme, dass der Graph von \( f \) nach links und rechts unbegrenzt ansteigt, bestimmen Sie die Intervalle, in denen
\[
f'(x) < 0 \quad \text{und} \quad f'(x) > 0 .
\]
Lösung zu Aufgabe 1
-
a) Der Graph von \( f \) hat zwei lokale Minima bei
\[
x = -2 \quad \text{und} \quad x = 4
\]
und ein lokales Maximum bei
\[
x = 1 .
\]
Daher gilt
\[
f'(x) = 0 \quad \text{für} \quad x = -2,\; 1,\; 4 .
\]
-
b) Die Funktion \( f \) ist fallend auf den Intervallen
\[
(-\infty, -2) \quad \text{und} \quad (1, 4),
\]
also
\[
f'(x) < 0 \quad \text{in diesen Intervallen.}
\]
-
Die Funktion \( f \) ist steigend auf
\[
(-2, 1) \quad \text{und} \quad (4, +\infty),
\]
daher
\[
f'(x) > 0 \quad \text{in diesen Intervallen.}
\]
Aufgabe 2
Der Graph einer Funktion \( f \) ist unten dargestellt. Unter der Annahme, dass \( f \) eine ungerade Funktion ist und horizontale Asymptoten besitzt, approximieren Sie grafisch den Graphen ihrer ersten Ableitung \( f'(x) \).
Lösung zu Aufgabe 2
-
Die Funktion \( f \) ist für alle \( x \) steigend, also
\[
f'(x) > 0 \quad \text{für alle } x,
\]
und der Graph von \( f'(x) \) liegt oberhalb der \( x \)-Achse.
-
Der Wert \( f'(a) \) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( (a, f(a)) \).
Aus dem Graphen geht hervor, dass die Steigung in der Nähe des Ursprungs \( (0,0) \) am größten zu sein scheint.
-
Unter Verwendung der Punkte \( A(x_A, y_A) \) und \( C(x_C, y_C) \) in der Nähe des Ursprungs ergibt sich
\[
m_0 \approx \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}
= \frac{0,5 - (-0,5)}{0,5 - (-0,5)} = 1 .
\]
-
Unter Verwendung der Punkte \( C \) und \( E \) wird die Steigung in der Nähe von Punkt \( D \) angenähert durch
\[
m_1 \approx \frac{1 - 0,5}{1,5 - 0,5} = 0,5 .
\]
-
Da \( f \) horizontale Asymptoten hat, gilt
\[
\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0 .
\]
-
Durch Kombination dieser Informationen ist eine vernünftige Approximation von \( f'(x) \) unten in blau dargestellt.
Aufgabe 3
Approximieren Sie den Graphen der ersten Ableitung \( f'(x) \) der unten gezeigten Funktion \( f \).
Nehmen Sie an, dass der Graph von \( f \) symmetrisch zur vertikalen Linie
\[
x = -0,5
\]
ist und dass \( y = 0 \) eine horizontale Asymptote ist.
Lösung zu Aufgabe 3
-
Die Ableitung erfüllt
\[
f'(x) = 0 \quad \text{bei} \quad x = -2,\; -0,5,\; 1,
\]
was den Extrema von \( f \) entspricht.
-
Unter Verwendung der Punkte \( D, E, F \) wird die Steigung am Punkt \( E \) angenähert durch
\[
m_0 \approx \frac{0,8 - 0,4}{-2,4 - (-2,9)} = 0,8 .
\]
-
Die Verwendung der nächsten Gruppe von drei Punkten rechts ergibt eine Steigung nahe
\[
-0,8 .
\]
Diese Werte ermöglichen es uns, Näherungspunkte von \( f'(x) \) zu zeichnen.
-
Die Ableitung ist positiv, wo \( f \) steigt:
\[
(-\infty, -2) \quad \text{und} \quad (-0,5, 1).
\]
-
Die Ableitung ist negativ, wo \( f \) fällt:
\[
(-2, -0,5) \quad \text{und} \quad (1, +\infty).
\]
-
Eine mögliche Approximation von \( f'(x) \) ist unten in blau dargestellt:
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