Extrema, Konkavität & Wendepunkte - Teil(1)
Analysis Aufgaben mit vollständig ausgearbeiteten Lösungen werden unten vorgestellt.
Anwendungen der ersten und zweiten
Ableitung
umfassen die Bestimmung von Intervallen der Zunahme und Abnahme, lokale Maxima und Minima,
Konkavität,
und Wendepunkte.
Aufgabe 1
Für die Funktion
\[
f(x) = (x + 3)(x - 2)^3
\]
finde:
- a) die Intervalle, in denen \( f \) steigt und fällt
- b) die Werte von \( x \), für die \( f \) ein lokales Maximum oder Minimum hat
- c) die Intervalle der Konkavität und den/die Wendepunkt(e)
Lösung zu Aufgabe 1
-
Erste Ableitung:
\[
f'(x) = (x - 2)^3 + 3(x + 3)(x - 2)^2
\]
\[
f'(x) = (x - 2)^2(4x + 7)
\]
-
Kritische Punkte werden aus \( f'(x) = 0 \) ermittelt:
\[
x = 2 \quad \text{und} \quad x = -\frac{7}{4}
\]
-
Die Vorzeichentabelle von \( f'(x) \) ist unten dargestellt:
| \(x\) |
\((-\infty,-\tfrac{7}{4})\) |
\(-\tfrac{7}{4}\) |
\((-\tfrac{7}{4},2)\) |
\(2\) |
\((2,+\infty)\) |
| \((x-2)^2\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(4x+7\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(f'(x)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\searrow\) |
\(\min\) |
\(\nearrow\) |
\(\text{kein Extrem.}\) |
\(\nearrow\) |
-
Aus der Vorzeichentabelle ist \( f \) fallend auf
\[
(-\infty, -\tfrac{7}{4})
\]
und steigend auf
\[
(-\tfrac{7}{4}, +\infty)
\]
-
b) Da \( f'(x) \) bei \( x = -\tfrac{7}{4} \) das Vorzeichen wechselt, hat die Funktion ein lokales Minimum bei
\[
x = -\tfrac{7}{4}
\]
Obwohl \( f'(2) = 0 \), gibt es bei \( x = 2 \) kein lokales Extremum, da das Vorzeichen von \( f'(x) \) sich nicht ändert.
-
c) Zweite Ableitung:
\[
f''(x) = 2(x - 2)(4x + 7) + 4(x - 2)^2
\]
\[
f''(x) = 6(x - 2)(2x + 1)
\]
-
Die Vorzeichentabelle von \( f''(x) \) ist unten dargestellt:
| \(x\) |
\((-\infty,-\tfrac{1}{2})\) |
\(-\tfrac{1}{2}\) |
\((-\tfrac{1}{2},2)\) |
\(2\) |
\((2,+\infty)\) |
| \((x-2)\) |
\(-\) |
\(-\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \((2x+1)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(f''(x)\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\text{konkav nach oben}\) |
\(\text{Wendepunkt}\) |
\(\text{konkav nach unten}\) |
\(\text{Wendepunkt}\) |
\(\text{konkav nach oben}\) |
-
Der Graph von \( f \) ist:
- konkav nach oben auf \( (-\infty, -\tfrac{1}{2}) \) und \( (2, +\infty) \)
- konkav nach unten auf \( (-\tfrac{1}{2}, 2) \)
Aufgabe 2
Gegeben
\[
f(x) = e^{x^2 - x}
\]
finde:
- a) die Intervalle, in denen die Funktion steigt und fällt
- b) den/die Wert(e) von \( x \), wo \( f \) ein lokales Extremum hat
- c) die Intervalle der Konkavität und etwaige Wendepunkte
Lösung zu Aufgabe 2
-
Erste Ableitung:
\[
f'(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}
\]
-
Der einzige kritische Punkt ist:
\[
x = \tfrac{1}{2}
\]
Die Vorzeichentabelle von \( f'(x) \) ist unten dargestellt:
| \(x\) |
\((-\infty,\tfrac{1}{2})\) |
\(\tfrac{1}{2}\) |
\((\tfrac{1}{2},+\infty)\) |
| \(e^{x^2-x}\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(2x-1\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f'(x)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\text{fallend}\) |
\(\min\) |
\(\text{steigend}\) |
-
Die Funktion ist fallend auf \( (-\infty, \tfrac{1}{2}) \) und steigend auf \( (\tfrac{1}{2}, +\infty) \).
-
b) Da \( f'(x) \) bei \( x = \tfrac{1}{2} \) das Vorzeichen wechselt, hat die Funktion ein lokales Minimum bei
\[
x = \tfrac{1}{2}
\]
-
c) Zweite Ableitung:
\[
f''(x) = 2e^{x^2 - x} + (2x - 1)^2 e^{x^2 - x}
\]
\[
f''(x) = \big[2 + (2x - 1)^2\big] e^{x^2 - x}
\]
-
Da \( f''(x) > 0 \) für alle \( x \), ist der Graph konkav nach oben auf \( (-\infty, +\infty) \) und hat keinen Wendepunkt.
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