Differenzierbarkeit stückweiser Funktionen - Teil(4)
Diese Analysis-Fragen konzentrieren sich auf die Differenzierbarkeit von Funktionen.
Jede Aufgabe wird Schritt für Schritt unter Verwendung der grundlegenden Theoreme der Stetigkeit und Ableitungen gelöst.
Theoreme
Theorem 1.
Wenn eine Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) differenzierbar ist, dann ist \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig.
Kontraposition.
Wenn \( f \) an der Stelle \( x = a \) nicht stetig ist, dann ist \( f \) an der Stelle \( x = a \) nicht differenzierbar.
Theorem 2.
Wenn \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig ist und
\[
\lim_{x \to a^+} f'(x) = \lim_{x \to a^-} f'(x),
\]
dann ist \( f \) an der Stelle \( x = a \) differenzierbar und
\[
f'(a) = \lim_{x \to a^+} f'(x) = \lim_{x \to a^-} f'(x).
\]
Frage 1
Bestimmen Sie, ob die Funktion
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2, & x \le 1 \\
2\sqrt{x}, & x > 1
\end{cases}
\]
an der Stelle \( x = 1 \) differenzierbar ist.
Lösung
-
Stetigkeit an der Stelle \( x = 1 \) auswerten:
\[
f(1) = 2(1)^2 = 2
\]
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \quad
\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2
\]
-
Da die Grenzwerte gleich \( f(1) \) sind, ist die Funktion an der Stelle \( x = 1 \) stetig.
-
Ableitungen berechnen:
\[
f'(x) = 4x \quad (x < 1), \qquad
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad (x > 1)
\]
-
Grenzwerte der Ableitungen auswerten:
\[
\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 4, \quad
\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1
\]
-
Da die Grenzwerte nicht gleich sind, existiert \( f'(1) \) nicht.
Die Funktion ist an der Stelle \( x = 1 \) nicht differenzierbar.
Frage 2
Sei
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^3, & x \le 0 \\
x^3 + 1, & x > 0
\end{cases}
\]
Zeigen Sie, dass obwohl
\[
\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} f'(x),
\]
die Ableitung \( f'(0) \) nicht existiert.
Lösung
-
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \quad
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1
\]
-
Die Funktion ist an der Stelle \( x = 0 \) nicht stetig, daher dort nicht differenzierbar.
-
Für alle \( x \neq 0 \):
\[
f'(x) = 3x^2
\]
-
\[
\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0
\]
-
Obwohl die Grenzwerte der Ableitungen übereinstimmen, existiert \( f'(0) \) aufgrund der Unstetigkeit nicht.
Frage 3
Finden Sie die Konstanten \( A \) und \( B \) so, dass
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2, & x \le 2 \\
Ax + B, & x > 2
\end{cases}
\]
an der Stelle \( x = 2 \) differenzierbar ist.
Lösung
-
Stetigkeit an der Stelle \( x = 2 \):
\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = 8, \quad
\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2A + B
\]
-
\[
2A + B = 8
\]
-
Ableitungen:
\[
f'(x) = 4x \ (x<2), \quad f'(x) = A \ (x>2)
\]
-
\[
\lim_{x \to 2^-} f'(x) = 8, \quad
\lim_{x \to 2^+} f'(x) = A
\]
-
Also \( A = 8 \) und \( B = -8 \).
Frage 4
Finden Sie alle Werte von \( x \), für die
\[
f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 1}
\]
nicht differenzierbar ist.
Lösung
-
\[
f(x) = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|
\]
-
\[
f(x) =
\begin{cases}
x - 1, & x > 1 \\
-(x - 1), & x < 1
\end{cases}
\]
-
Die Funktion ist an der Stelle \( x = 1 \) stetig.
-
Ableitungen:
\[
f'(x) = 1 \ (x<1), \quad f'(x) = -1 \ (x>1)
\]
-
Die Grenzwerte der Ableitungen unterscheiden sich, daher ist \( f \) an der Stelle \( x = 1 \) nicht differenzierbar.
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