적분과 디스크 법을 사용하여 구의 부피를 구합니다.
이하에서 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
문제 및 유도 과정
문제: 반원 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)을 x축 주위로 회전시켜 생성된 구의 부피를 구합니다.
\( x = -R \)부터 \( x = R \)까지의 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \)이라고 합시다. 부피는 회전체의 부피의 공식 1에 의해 주어집니다:
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
적분 구간을 \( -R \)부터 \( R \)까지로 하여 정적분을 설정합니다:
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]\( f(x) \)를 그 표현식인 \( \sqrt{R^2 - x^2} \)로 대체합니다:
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]간단히 정리합니다:
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]적분합니다:
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]값을 대입하여 계산합니다:
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]이것이 잘 알려진 구의 부피 공식입니다. 반지름이 \( R \)인 반원을 x축 주위로 회전시키면 반지름이 \( R \)인 구가 생성됩니다.