미적분의 적분을 사용하여 사각뿔의 부피 공식을 유도합니다.
이하에서 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
문제 및 유도 과정
문제: 아래 그림과 같은 피라미드(사각뿔)가 있습니다. 밑면은 한 변의 길이가 \( a \)인 정사각형이며 y축에 수직입니다. 사각뿔의 높이는 \( H \)입니다. 적분과 그 성질을 사용하여 \( a \)와 \( H \)로 표현되는 사각뿔의 부피를 구하세요.
문제 풀이:
먼저 사각뿔을 배치하여 정사각형 밑면의 마주 보는 두 변이 x축에 수직이 되고 밑면의 중심이 x-y 좌표계의 원점에 오도록 합니다. x-y 평면에 수직인 방향에서 사각뿔을 바라보면 아래와 같이 2차원 모양으로 보입니다. \( AC \)는 빗면의 높이(슬랜트 높이)입니다.
높이 \( y \)에서의 정사각형 한 변의 길이의 절반을 \( x = A'B' \)라고 합시다. 높이 \( y \)에서의 정사각형 넓이 \( A \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ A(x) = (2x)^2 \]부피는 \( y = 0 \)부터 \( y = H \)까지 사각뿔을 구성하는 모든 부피 조각 \( A \, dy \)를 더하여 구합니다. 따라서:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \] \[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]이제 삼각형 \( ABC \)와 \( AB'C' \)가 닮음 삼각형이라는 사실을 이용하면 대응하는 변의 길이들이 비례하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]위 식을 \( x \)에 대해 풉니다:
\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]이제 부피를 구하는 적분식에 \( x \)를 대입합니다:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]다음과 같이 변수 \( t \)를 정의합니다:
\[ t = H - y \quad \text{and} \quad dt = -dy \]값을 대입하고 적분 구간을 변경하여 부피를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \] \[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]적분을 계산하고 간단히 정리합니다:
\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \] \[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]사각뿔의 부피는 밑넓이에 사각뿔 높이의 3분의 1을 곱한 값과 같습니다.