다음과 같은 부정형과 관련된 극한 문제를 해결하는 상세한 풀이가 포함된 예제와 연습문제입니다:
\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]이하에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
정리
로피탈의 정리의 두 번째 버전을 사용하면 다음 극한 문제를 대체할 수 있습니다:
\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]풀기 더 간단한 다른 문제로 바꿀 수 있습니다.
\( \lim f(x) = \infty \)이고 \( \lim g(x) = \infty \)일 때, 만약 \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \)가 유한한 값 \( L \)을 가지거나 \( \infty \) 또는 \( -\infty \) 형태라면 다음이 성립합니다:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]위 식에서 \( \lim \)은 \( \lim_{x \to a} f(x) \), \( \lim_{x \to a^+} f(x) \), \( \lim_{x \to a^-} f(x) \), \( \lim_{x \to \infty} f(x) \), 또는 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 자세한 단계별 풀이를 확인할 수 있습니다.
예제 1
극한을 구하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]풀이 보기
다음이 성립하므로:
\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]그리고
\[ \limit_{x \to \infty} x = \infty \]다음과 같은 부정형이 됩니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]로피탈의 정리를 사용하여 주어진 극한 문제를 다음과 같이 평가할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]분자와 분모의 도함수를 구합니다:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]분자와 분모의 극한을 구합니다:
\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]이제 주어진 극한을 구합니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]예제 2
극한을 구하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]풀이 보기
다음 사항을 참고하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]그리고
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]이것은 \( \infty \cdot 0 \) 부정형입니다. 핵심 아이디어는 이를 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 부정형으로 변환한 뒤 로피탈의 정리를 사용하는 것입니다. 다음을 참고하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]로피탈의 정리를 적용합니다:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]예제 3
극한을 구하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]풀이 보기
\( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \)이고 위 극한은 다음과 같이 주어진다는 점에 유의하세요:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]이는 \( 1^\infty \) 부정형입니다. \( t = 1 / x \)라 하면 위 극한은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]\( x \to \infty \)일 때 \( t \to 0^+ \)가 됨에 유의하세요.
\( y = (1 + t)^{1/t} \)라 하고 \( t가 0 \)에 가까워질 때 \( \ln y \)의 극한을 구합니다:
\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]\( \ln y \)를 사용하는 장점은 다음과 같습니다:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]이 극한은 \( 0 / 0 \) 부정형을 가지며, 첫 번째 로피탈의 정리를 적용할 수 있습니다:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]\( \ln y \)의 극한이 1이므로, \( y \)의 극한은 \( e^1 = e \)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]예제 4
극한을 구하세요:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]풀이 보기
다음 사항을 참고하세요:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]그리고
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]이 극한은 \( \infty - \infty \) 부정형을 가지며 항을 결합하여 다른 형태로 변환해야 합니다:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]이제 \( 0 / 0 \) 부정형이 되었으므로 로피탈의 정리를 사용할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]다시 \( 0 / 0 \) 부정형이 되므로 로피탈의 정리를 한 번 더 사용합니다:
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]예제 5
극한을 구하세요:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]풀이 보기
\( 0^0 \) 부정형입니다. \( y = x^x \)라 하고 \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \)라 합시다. 이제 \( \ln y \)의 극한을 구해 봅시다:
\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]위 극한은 \( 0 \cdot \infty \) 부정형입니다. 다음과 같이 변환합니다:
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]이제 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 부정형이 되었으므로 로피탈의 정리를 사용할 수 있습니다:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]\( \ln y \)의 극한이 0이므로, \( y = x^x \)의 극한은 다음과 같습니다:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]연습문제
다음 극한을 계산하세요. 각 연습문제를 클릭하면 정답을 확인할 수 있습니다.
연습문제 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
정답 보기
연습문제 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
정답 보기
연습문제 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
정답 보기
연습문제 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)