A função de densidade de probabilidade da distribuição normal e suas propriedades são apresentadas a partir de os histogramas de probabilidade .
Um conjunto de dados normalmente distribuído com média \( \mu = 3,5 \) e um desvio padrão \( \sigma = 1 \) é usado para destacar
a ligação entre o histograma de probabilidade dos dados e a função de densidade normal que leva à definição de distribuição normal .
Gráficos de distribuições normais são apresentados para destacar os efeitos da média \( \mu \) e do desvio padrão \( \sigma \) no distribuição normal.
As propriedades das distribuições normais são apresentadas. A distribuição normal padrão é definida e as etapas usadas para ir de são apresentadas distribuições normais para distribuição normal padrão usando o escore z .
Exemplos de cálculos de probabilidades de distribuições normais estão incluídos.
Uma tabela PDF e uma planilha do Google para valores padrão da área de distribuição normal estão incluídas e ambos podem ser baixados e usados em cálculos.
Na figura 1, são mostrados os histogramas de probabilidade de 3 dados conjuntos. Os dados no histograma A estão mais concentrados à esquerda. Os dados do histograma B estão mais concentrados à direita; e os dados no histograma C estão espalhados.
Figura 1
\( \mu \approx 3,5 \) , mediana \( \approx 3,5 \)
Figura 2
A distribuição é simétrica e será discutida com mais detalhes abaixo.
Figura 3
Figura 4
Figura 5
A função densidade de probabilidade de uma distribuição normal com média \( \mu \) e desvio padrão \( \sigma \) é definida por \[ \boxed {\displaystyle f_X(x) = \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } } \] onde \( X \) é a variável aleatória normalmente distribuída.
Na figura 6 abaixo, são mostradas funções normais de densidade de probabilidade com o mesmo desvio padrão \( \sigma = 2 \) e médias diferentes.
Figura 6
Figura 7
1-The normal distribution is centered around the mean; this is clearly shown in figures 6 and 7.
2 - The mean and median of a normal distribution are very close (equal in theory).
3 - The total area under the curve of a normal distribution is equal to \( 1 \).
\[ \displaystyle \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \; e^{-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } dx = 1 \]
4 - Data Distribution is as follows
a) Approximately, \( 68\% \) of the data lies within 1 standard deviation from the mean.
\[ \displaystyle \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int _{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\:e^{-0.5\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.68268\]
1-A distribuição normal está centrada na média; isso é claramente mostrado nas figuras 6 e 7.
2 - A média e a mediana de uma distribuição normal são muito próximas (iguais em teoria).
3 - A área total sob a curva de uma distribuição normal é igual a \( 1 \).
\[ \displaystyle \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \; e^{-\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } dx = 1 \]
4 - A distribuição dos dados é a seguinte
a) Aproximadamente, \(68\% \) dos dados está dentro de 1 desvio padrão da média.
\[ \displaystyle \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int _{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\:e^{-0.5\left(\dfrac{ x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0,68268\]
Figura 8
b) Aproximadamente, \(95\% \) dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média. \[ \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma}\:e^{-0.5\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.95449 \]
Figura 9
c) Aproximadamente, \(99\% \) dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média. \[ \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-3\sigma}^{\mu+3\sigma}\:e^{-0.5\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.99730 \]
Figura 10
A distribuição normal com média \( \mu = 0 \) e desvio padrão \( \sigma = 1 \) é chamada de distribuição normal padrão e sua função de densidade de probabilidade é dada por
\[ f_X(x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\dfrac{1}{2} x^2 } \]
A distribuição de probabilidade cumulativa da distribuição normal padrão é definida por
\[ \displaystyle F_{X} (x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\dfrac{1}{2} t^2} \; dt \]
e é usado para encontrar probabilidades da forma
\[ P( X \le a) = F_{X} (a) \]
Figura 11
Por isso \( P( X \le a) \) é dado pela área entre o eixo x, a curva da distribuição normal padrão e \( x = a \)
Figura 12
A distribuição normal da média \( \mu \) e desvio padrão \( \sigma \) é dada por
\[ \displaystyle f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\:e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \]
A probabilidade \( P( X \le a) \) é dada pela área entre o eixo x, a curva da distribuição normal e \( x = a \) e é dada por
\[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{a} \; e^{- \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{t - \mu}{\sigma}\right)^2} \; dt \]
Vamos usar a substituição na integral
\( z = \dfrac{t - \mu}{\sigma} \) que dá \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma} \) e substitui na integral acima
\[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{\dfrac{a - \mu}{\sigma}} \; e^{- \dfrac{1}{2} z^2} \; dz \]
Agora estamos lidando com a integral da distribuição normal padrão e do z-score dados por.
\[ z = \dfrac{a - \mu}{\sigma} \]
O resultado acima nos diz que você só precisa saber a integral da distribuição normal padrão para calcular qualquer probabilidade relacionada a qualquer distribuição normal e isso é usando o escore z definido acima.
A integral
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{z_0} \; e^{- \dfrac{1}{2} z^2} \; dz \]
pode ser calculado usando planilhas do Google que podem ser baixadas para uso pessoal.
e também é dado na forma de
A Tabela de Distribuição Normal em pdf pode ser baixada e utilizada.
Exemplo 1
Uma variável aleatória \( X \) é normalmente distribuída com uma média \( \mu = 2,2 \) e um desvio padrão \( \sigma = 2,5 \). Encontre a probabilidade
a) \( \qquad P( X \le 1.2) \)
Solução para o Exemplo 1
Neste exemplo temos \( \mu = 2,2 \) e \( \sigma = 2,5 \), portanto o z-score definido acima é dado por
\[ z = \dfrac{1.2 - 2.2}{2.5} \approx -0.4 \]
Diferentes maneiras de calcular a integral
a) Usando uma calculadora, a probabilidade é dada por
\[ P( X \le 1.2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{-0.4} \; e^{- \dfrac{1}{2} z^2} \; dz \approx 0.34457 \]
b) Use uma tabela de valores da probabilidade de uma distribuição normal padrão que pode ser
baixado para uso pessoal.
Figura 13
NOTA a Tabela de Distribuição Normal em pdf pode ser baixada e utilizada.
