A continuación se presentan los pasos para encontrar la derivada de una función logarítmica en cualquier base con explicaciones detalladas.
Uso de la Fórmula de Cambio de Base
Sea \( y = \log_a x \).
Utiliza la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural \( \ln \):
\[ y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]Ahora evaluamos la derivada:
\[ \frac{d}{dx} \left(\log_a x\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) \]Notando que \( \ln a \) es una constante y \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \), obtenemos:
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1: Derivadas de Logaritmos Básicos y Compuestos
Problema: Halla las derivadas de:
a) \( y = \log_3(x) \)
b) \( y = \log_5(x^2 + 2x - 1) \)
Solución:
a) Utilizando la fórmula en \( (I) \), obtenemos:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 3} \]b) La función en la parte b) es una función compuesta de la forma \( y = \log_5 u(x) \) con \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \).
Utilizando la regla de la cadena de la diferenciación:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad (II) \]Utilizando la fórmula \( (I) \):
\[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 5} \]Evalúa \( \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \]Sustituye \( \frac{dy}{du} \) y \( \frac{du}{dx} \) en \( (II) \):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x - 1) \ln 5} \]Ejemplo 2: Demostración de que una Función Logarítmica es Decreciente
Problema: Muestra que la función \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) es decreciente en su dominio.
Solución:
Halla la derivada utilizando la fórmula \( (I) \):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln\left(\frac{1}{2}\right)} \]Nota que:
\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2 \]Por lo tanto:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \]El dominio de la función dada \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) es el conjunto de todos los valores de \( x \) tales que \( x > 0 \). Por lo tanto, la derivada \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \) es negativa en todo el dominio. Como la derivada es negativa sobre el dominio de la función, \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) es una función decreciente.