Halla el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región delimitada por la gráfica de una función alrededor de uno de los ejes utilizando integrales definidas y el método de casquillos cilíndricos, donde la integración es perpendicular al eje de rotación. Los ejercicios con sus respuestas se presentan al final de la página.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Fórmula - Método de casquillos cilíndricos
Si \( f \) es una función tal que \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en el intervalo \( [x_1, x_2] \), el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje \( y \) la región delimitada por la gráfica de \( f \), el eje \( x \) (\( y = 0 \)) y las líneas verticales \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) está dado por la integral:
\[ \Large \text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \, dx \]
Si \( g \) es una función tal que \( g(y) \geq 0 \) para todo \( y \) en el intervalo \( [y_1, y_2] \), el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje \( x \) la región delimitada por la gráfica de \( g \), el eje \( y \) (\( x = 0 \)) y las líneas horizontales \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \) está dado por la integral:
\[ \Large \text{Volumen} = \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y g(y) \, dy \]Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1: Volumen del sólido generado al girar un triángulo alrededor del eje \( y \)
Solución al ejemplo 1:
Nota que este problema se ha resuelto en Volumen de un sólido de revolución utilizando el método de arandelas. Ahora vamos a resolverlo utilizando el método de casquillos cilíndricos.
La región que se va a rotar está delimitada por \( x = 0 \), \( y = 0 \) y dos curvas \( y = x \) y \( y = -x + 2 \) con un punto de intersección en \( (1, 1) \). Por lo tanto, dividimos la integral en dos partes:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} 2\pi x(x) \, dx + \int_{1}^{2} 2\pi x(-x + 2) \, dx \]Integrar:
\[ = 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 + 2\pi \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 \]Evaluar:
\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\left(-\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right)\right] \] \[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}\right] = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = 2\pi \]Ejemplo 2: Volumen del sólido generado por una región de curva cúbica en el primer cuadrante
Solución al ejemplo 2:
Las gráficas de \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) y \( y = -x + 1 \) se muestran a continuación.
El intercepto con el eje \( x \) de \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) se halla resolviendo:
\[ -x^3 + 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(-x + 2) + 1(-x + 2) = 0 \implies (-x + 2)(x^2 + 1) = 0 \]Esto da \( x = 2 \). El intercepto con el eje \( x \) de \( y = -x + 1 \) es \( x = 1 \).
Desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \), la región está delimitada arriba por \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) y abajo por \( h(x) = -x + 1 \). El volumen \( V_1 \) es:
\[ V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2 - (-x + 1)) \, dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{1} (-x^4 + 2x^3 + x) \, dx = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{8\pi}{5} \]Desde \( x = 1 \) hasta \( x = 2 \), la región está delimitada arriba por \( f(x) \) y abajo por \( y = 0 \). El volumen \( V_2 \) es:
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) \, dx = 2\pi \int_{1}^{2} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2) \, dx \] \[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \dfrac{59\pi}{15} \]Volumen total \( V = V_1 + V_2 = \dfrac{8\pi}{5} + \dfrac{59\pi}{15} = \dfrac{83\pi}{15} \).
Ejemplo 3: Volumen generado por una región de curva sinusoidal alrededor del eje \( y \)
Solución al ejemplo 3:
Halla una fórmula para el volumen encerrado por \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( y = a + \sin(x) \) para \( 0 \leq x \leq 2\pi \) y \( a \geq 1 \) alrededor del eje \( y \):
\[ V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x (a + \sin(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} ax \, dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) \, dx \]Evaluando la primera integral \( I_1 \):
\[ I_1 = 2\pi a \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \]Evaluando la segunda integral \( I_2 \) utilizando integración por partes (\( u = x \), \( dv = \sin(x) \, dx \)):
\[ I_2 = 2\pi \left[ -x \cos(x) \right]_0^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx = -4\pi^2 + 0 = -4\pi^2 \]Volumen total: \( V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a - 4\pi^2 \).
Ejemplo 4: Volumen generado por una elipse en el primer cuadrante alrededor del eje \( x \)
Solución al ejemplo 4:
Utiliza casquillos cilíndricos para hallar una fórmula para el volumen del sólido generado al girar el área encerrada por \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) en el primer cuadrante alrededor del eje \( x \) (\( a, b > 0 \)).
Despejando \( x \): \( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \).
Dado que la rotación es alrededor del eje \( x \), los casquillos son paralelos al eje \( x \):
\[ V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy \]Utilizando la sustitución \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \) y evaluando se obtiene:
\[ V = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]Ejercicios
Calcula las siguientes integrales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1: Halla el volumen del sólido generado cuando parte de la gráfica de \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) en el cuadrante I gira alrededor del eje \( y \).
Solución:
Halla el intercepto con el eje \( x \) resolviendo \( -x^4 + 3x^3 - x + 3 = 0 \implies x^3(3 - x) + 1(3 - x) = (x^3 + 1)(3 - x) = 0 \implies x = 3 \) (en el cuadrante I).
Utilizando la fórmula de los casquillos cilíndricos desde \( x = 0 \) hasta \( x = 3 \):
\[ V = \int_{0}^{3} 2\pi x (-x^4 + 3x^3 - x + 3) \, dx = 2\pi \int_{0}^{3} (-x^5 + 3x^4 - x^2 + 3x) \, dx \]Integrando término por término:
\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^6}{6} + \dfrac{3x^5}{5} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{288\pi}{5} \]