Halla el volumen de una esfera utilizando integrales y el método de discos.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Problema y derivación
Problema: Halla el volumen de una esfera generada al girar el semicírculo \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) alrededor del eje x.
La gráfica de \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) desde \( x = -R \) hasta \( x = R \) se muestra a continuación. Sea \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \). El volumen está dado por la fórmula 1 en Volumen de un sólido de revolución:
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
Plantear la integral definida con límites desde \( -R \) hasta \( R \):
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]Sustituye \( f(x) \) por su expresión \( \sqrt{R^2 - x^2} \):
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]Simplifica:
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]Integra:
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]Evalúa la integral:
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]Esta es la conocida fórmula para el volumen de una esfera. Hacer girar un semicírculo de radio \( R \) alrededor del eje x genera una esfera de radio \( R \).