¿Qué es el teorema de Rolle en cálculo?

El teorema de Rolle establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y cumple que f(a) = f(b), entonces hay al menos un número c en (a, b) tal que f'(c) = 0.

Preguntas y ejemplos del teorema de Rolle

El teorema de Rolle es un caso especial de el teorema del valor medio. Se discute aquí a través de ejemplos y preguntas.

En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle es una consecuencia directa de el teorema del valor medio donde, bajo las condiciones de que \( f(x) \) es una función continua en el intervalo \( [a, b] \) y derivable en el intervalo abierto \( (a, b) \), existe al menos un valor \( c \) de \( x \) tal que:

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Ahora bien, si también se satisface la condición \( f(a) = f(b) \), entonces lo anterior se simplifica a: \( f'(c) = 0 \).

En otras palabras, bajo estas tres condiciones, siempre podemos encontrar una recta tangente a la curva de \( f \) que sea horizontal (pendiente = \( f'(c) = 0 \)).

Teorema de Rolle

Si \( f(x) \) es:
1) una función continua en el intervalo \( [a, b] \)
2) derivable en el intervalo abierto \( (a, b) \)
3) y \( f(a) = f(b) \)

entonces existe al menos un valor \( c \) de \( x \) en el intervalo \( (a, b) \) tal que: \[ f'(c) = 0 \]

Ejemplos con soluciones detalladas

Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.

Ejemplo 1

La gráfica de \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) para \( 1 \le x \le 5 \) se muestra a continuación. \( f(1) = f(5) = -1 \) y \( f \) es continua en \( [1, 5] \) y derivable en \( (1, 5) \), por lo tanto, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor de \( x = c \) tal que \( f'(c) = 0 \).

Mostrar solución al ejemplo 1

\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

Resuelve la ecuación anterior para obtener:

\[ c = 3 \]

Por lo tanto, en \( x = 3 \), hay una recta tangente a la gráfica de \( f \) que tiene una pendiente igual a cero (línea horizontal) como se muestra en la Figura 1 a continuación.

uso del teorema de Rolle ejemplo 1 — Figura 1. Teorema de Rolle, Ejemplo 1

Ejemplo 2

La gráfica de \( f(x) = \sin(x) + 2 \) para \( 0 \le x \le 2\pi \) se muestra a continuación. \( f(0) = f(2\pi) = 2 \) y \( f \) es continua en \( [0, 2\pi] \) y derivable en \( (0, 2\pi) \), por lo tanto, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor (¡puede haber más de uno!) de \( x = c \) tal que \( f'(c) = 0 \).

Mostrar solución al ejemplo 2

\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

La ecuación anterior tiene dos soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi] \):

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

Por lo tanto, tanto en \( x = \dfrac{\pi}{2} \) como en \( x = \dfrac{3\pi}{2} \), hay rectas tangentes a la gráfica que tienen una pendiente igual a cero (líneas horizontales) como se muestra en la Figura 2 a continuación.

uso del teorema de Rolle ejemplo 2, dos tangentes — Figura 2. Teorema de Rolle, Ejemplo 2 con dos tangentes

Ejemplo 3

La función \( f \) en la Figura 3 no satisface el teorema de Rolle: aunque es continua y \( f(-1) = f(3) \), la función no es derivable en \( x = 1 \), y por lo tanto no se garantiza que \( f'(c) = 0 \) con \( c \) en el intervalo \( (-1, 3) \). De hecho, es fácil ver que no hay ninguna recta tangente horizontal a la gráfica de \( f \) en el intervalo \( (-1, 3) \).

Gráficas de una función con al menos una de las condiciones no satisfecha — Figura 3. Gráfica de una función que no satisface la condición de derivabilidad en el teorema de Rolle

Preguntas de práctica con soluciones detalladas

Haz clic en cada pregunta para ver su solución detallada paso a paso.

Pregunta 1

¿Cuáles de las funciones dadas a continuación satisfacen las tres condiciones del teorema de Rolle?

a) \( f(x) = \cos(x) \), para \( x \) en \( [0, 2\pi] \)
b) \( g(x) = |x - 2| \), para \( x \) en \( [0, 4] \)
c) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \), para \( x \) en \( [-1, 1] \)
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), para \( x \) en \( [0, 2\pi] \)

Mostrar solución a la pregunta 1

a) \( f(0) = 1 \) y \( f(2\pi) = 1 \), por lo tanto \( f(0) = f(2\pi) \). \( f \) es continua en \( [0, 2\pi] \) y derivable en \( (0, 2\pi) \). La función \( f \) satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.

b) La función \( g \) tiene una gráfica en forma de V con un vértice en \( x = 2 \) y, por lo tanto, no es derivable en \( x = 2 \). La función \( g \) no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.

c) La función \( h \) no está definida en \( x = 0 \). La función \( h \) no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.

d) \( k(x) = |\sin(x)| \) para \( x \) en \( [0, 2\pi] \). La gráfica de la función \( k \) se muestra a continuación y revela que la función \( k \) no es derivable en \( x = \pi \). La función \( k \) no satisface todas las condiciones del teorema de Rolle.

Gráfica de k(x) = |sin(x)| , para x en [0 , 2π] — Figura 4. Gráfica de \( k(x) = |\sin(x)| \), para \( x \) en \( [0, 2\pi] \)

Pregunta 2

Comprueba que la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en el intervalo \( [1, 3] \) satisface todas las condiciones del teorema de Rolle, y luego halla todos los valores de \( x = c \) tales que \( f'(c) = 0 \).

Mostrar solución a la pregunta 2

\( f \) es una función polinómica y, por lo tanto, es continua en el intervalo \( [1, 3] \) y derivable en el intervalo \( (1, 3) \). Además, \( f(1) = f(3) = 0 \), por lo que la función \( f \) satisface las tres condiciones del teorema de Rolle, garantizando que existe al menos un valor de \( x = c \) tal que \( f'(c) = 0 \).

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

La gráfica a continuación muestra \( f \), y la recta tangente en \( x = c = 2 \) es horizontal con \( f'(2) = 0 \).

uso del teorema de Rolle pregunta 2, f(x) = x^2 - 4x + 3 — Figura 5. Teorema de Rolle, Pregunta 2, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

Pregunta 3

Comprueba que la función \( g(x) = \cos(x) \) en el intervalo \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) satisface todas las condiciones del teorema de Rolle, y luego halla todos los valores \( x = c \) tales que \( g'(c) = 0 \).

Mostrar solución a la pregunta 3

La función \( g \) es una función coseno y, por lo tanto, es continua en el intervalo \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) y derivable en el intervalo \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \). Además:

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

Por lo tanto, la función \( g \) satisface las tres condiciones del teorema de Rolle, y existe al menos un valor de \( x = c \) tal que \( g'(c) = 0 \).

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

Las soluciones en el intervalo \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) son:

\[ c_1 = 0 \quad \text{y} \quad c_2 = \pi \]

La gráfica a continuación muestra \( g \) y las rectas tangentes en \( x = c_1 = 0 \) y \( x = c_2 = \pi \) son horizontales, con \( g'(0) = 0 \) y \( g'(\pi) = 0 \).

uso del teorema de Rolle pregunta 3 , g(x) = cos(x) — Figura 6. Teorema de Rolle, Pregunta 3, \( g(x) = \cos(x) \)