El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. Se discute aquí a través de ejemplos y preguntas.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle es el resultado del teorema del valor medio donde bajo las condiciones:
\( f(x) \) es una función continua en el intervalo \( [a, b] \)
y diferenciable
en el intervalo abierto \( (a, b) \) , existe al menos un valor c de x tal que
\[ f '(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Ahora, si se cumple la condición \( f(a) = f(b) \), entonces lo anterior se simplifica a: \( f'(c) = 0 \).
En otras palabras, bajo las tres condiciones anteriores, siempre podemos encontrar una tangente a la curva de f que es horizontal (pendiente = \( f'(c) = 0 \) ).
Teorema de Rolle
Si \( f(x) \) es
1) una función continua en el intervalo \( [a, b] \)
2) diferenciable en el intervalo abierto \( (a, b) \)
3) y \( f(a) = f(b) \),
entonces hay al menos un valor c de x en el intervalo \( (a, b) \) tal que
\( f'(c) = 0 \)
Ejemplo 1
El gráfico de \( f(x) = - x^2 + 6x - 6 \) para \( 1 \leq x \leq 5 \) se muestra a continuación. \( f(1) = f(5) = - 1 \) y \( f \) es continua en [1 , 5] y diferenciable en (1 , 5), por lo tanto, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor de \( x = c \) tal que \( f '(c) = 0 \).
\( f '(x) = - 2 x + 6 \)
\( f '(c) = - 2 c + 6 = 0 \)
Resuelve la ecuación anterior para obtener
\( c = 3 \)
Por lo tanto, en \( x = 3 \) hay una tangente al gráfico de \( f \) que tiene una pendiente igual a cero (línea horizontal) como se muestra en la figura 1 a continuación.
Figura 1. Teorema de Rolle, ejemplo 1
Ejemplo 2
El gráfico de \( \quad f(x) = \sin(x) + 2 \) para \( \quad 0 \leq x \leq 2\pi \) se muestra a continuación. \( \quad f(0) = f(2\pi) = 2 \) y \( f \) es continua en [0 , \( 2\pi \)] y diferenciable en (0 , \( 2\pi \)), por lo tanto, según el teorema de Rolle, existe al menos un valor (¡puede haber más de uno!) de \( x = c \) tal que \( f '(c) = 0 \).
\( f '(x) = \cos(x) \)
\( f '(c) = \cos(c) = 0 \)
La ecuación anterior tiene dos soluciones en el intervalo [0 , \( 2\pi \)]
\( c_1 = \dfrac{\pi}{2} \) y \( c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \).
Por lo tanto, tanto en \( x = \dfrac{\pi}{2} \) como en \( x = \dfrac{3\pi}{2} \) hay tangentes al gráfico que tienen una pendiente igual a cero (línea horizontal) como se muestra en la figura 2 a continuación.
Figura 2. Teorema de Rolle, ejemplo 2 con dos tangentes
Ejemplo 3
La función \( f \) en la figura 3 no satisface el teorema de Rolle: aunque es continua y \( f(-1) = f(3) \), la función no es diferenciable en \( x = 1 \) y, por lo tanto, no se garantiza que \( f '(c) = 0 \) con \( c \) en el intervalo (-1 , 3). De hecho, es fácil ver que no hay una tangente horizontal al gráfico de \( f \) en el intervalo (-1 , 3).
Figura 3. Gráfico de función que no satisface la condición de diferenciabilidad en el teorema de Rolle
Pregunta 1
¿Cuáles de las funciones dadas a continuación cumplen las tres condiciones del teorema de Rolle?
a) \( f(x) = \cos(x) \), para \( x \) en \( [0 , 2\pi \)] \)
b) \( g(x) = |x - 2| \), para \( x \) en \( [0 , 4] \)
c) \( h(x) = 1 / x^2 \), para \( x \) en \( [-1 , 1] \)
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), para \( x \) en \( [0 , 2\pi ] \)
solución a la pregunta 1
a)
\( f(0) = 1 \) y \( f(2\pi) = 1 \) por lo tanto \( f(0) = f(2\pi) \)
\( f \) es continua en \( [0 , 2\pi ] \)
La función \( f \) es diferenciable en \( (0 , 2\pi ) \)
La función \( f \) cumple todas las condiciones del teorema de Rolle
b)
la función \( g \) tiene un gráfico en forma de V con vértice en \( x = 2 \) y por lo tanto no es diferenciable en \( x = 2 \).
La función \( g \) no cumple todas las condiciones del teorema de Rolle
c)
La función \( h \) no está definida en \( x = 0 \).
La función \( h \) no cumple todas las condiciones del teorema de Rolle.
d)
\( k(x) = |\sin(x)| \), para \( x \) en \( [0 , 2\pi] \)
El gráfico de la función \( k \) se muestra a continuación y muestra que la función \( k \) no es diferenciable en \( x = \pi \).
La función \( k \) no cumple todas las condiciones del teorema de Rolle.
Figura 4. Gráfico de \( k(x) = |\sin(x)| \), para \( x \) en \( [0 , 2\pi ] \)
Pregunta 2
Comprueba que la función \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) en el intervalo [1 , 3] cumple todas las condiciones del teorema de Rolle y luego encuentra todos los valores de \( x = c \) tales que \( f '(c) = 0 \).
solución a la pregunta 2
\( f \) es una función polinómica y por lo tanto es continua en el intervalo [1 , 3] y diferenciable en el intervalo (1 , 3). También
\( f(1) = f(3) = 0 \) y por lo tanto la función \( f \) cumple las tres condiciones del teorema de Rolle y hay al menos un valor de \( x = c \) tal que \( f '(c) = 0 \).
\( f '(x) = 2x - 4 \)
\( f '(c) = 2c - 4 = 0 \)
Resuelve para \( c \) para obtener
\( c = 2 \).
El gráfico a continuación muestra \( f \), \( f' \) y la tangente en \( x = c = 2 \) es horizontal; y \( f'(2) = 0 \)
Figura 5. Teorema de Rolle, pregunta 2, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
Pregunta 3
Comprueba que la función \( g(x) = \cos(x) \) en el intervalo \( [- \pi /2 , 3\pi/2] \) cumple todas las condiciones del teorema de Rolle y luego encuentra todos los valores \( x = c \) tales que \( g '(c) = 0 \).
solución a la pregunta 3
La función \( g \) es una función coseno y por lo tanto es continua en el intervalo \( [-
\pi/2 , 3\pi/2] \) y diferenciable en el intervalo \( (- \pi /2 , 3\pi /2) \) . También \[ g(- \pi /2) = g( 3\pi /2) = 0 \] y por lo tanto la función \( g \) cumple las tres condiciones del teorema de Rolle y hay al menos un valor de \( x = c \) tal que \( f '(c) = 0 \).
\( g '(x) = - \sin(x) \)
\( g '(c) = - \sin(c) = 0 \)
Resuelve para \( c \) para obtener
\( c = n \pi \) , \( n = 0,\pm 1 , \pm 2 , ... \)
Las soluciones en el intervalo \( [- \pi/2 , 3\pi /2] \) son
\( c_1 = 0 \) y \( c_2 = \pi \);
El gráfico a continuación muestra \( g \), \( g' \) y
las tangentes en \( x = c_1 = 0 \) y \( x = c_2 = \pi \) son horizontales; y \( g'(0) = 0 \) y \( g'(\pi) = 0 \)
Figura 5. Teorema de Rolle, pregunta 3, \( g(x) = \cos(x) \)
![Gráfico de k(x) = |sin(x)| , para x en [0 , 2π]](http://www.analyzemath.com/calculus/MeanValueTheorem/rolle's_theorem_|sin(x)|.gif)
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