Teorema del valor medio
El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Aquí se discute a través de ejemplos y gráficos. Una vez que termine con este tutorial, es posible que desee resolver problemas relacionados con el teorema del valor medio.
Teorema del valor medio
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces hay al menos un valor c de x en el intervalo (a, b) tal quef '(c) = [ f(b) - f(a) ] /(b - a)
o
f(b) - f(a) = f '(c) (b - a)
En otras palabras, la línea tangente a la gráfica de f en c y la secante Los puntos que pasan (a,f(a)) y (b,f(b)) tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelos.
Ejemplos de Aplicaciones del Teorema del Valor Medio
Ejemplo 1
Utilice el teorema del valor medio para encontrar el valor c de x en el intervalo [1, 5] tal que la tangente en el punto (c, f(c)) a la de la curva f(x) = - x 2 + 7 x - 6 es paralelo a la secante a través de la puntos (1 , f(1)) y (5 , f(5)).Solución al Ejemplo 1
La pendiente de la tangente en el punto (c , f(c)) viene dada porf '(c) donde f ' es la primera derivada.
La pendiente de la secante a través de (1 , f(1)) y (5 , f(5)) viene dada por
[ f(5) - f(1) ] /(5 - 1)
Para que la tangente sea paralela a la secante, su pendiente debe ser igual, por lo tanto
f'(c) = [ f(5) - f(1) ] /(5 - 1)
La función f es una función polinomial (cuadrática) y, por lo tanto, es continua y diferenciable del intervalo [1, 5], por lo tanto, el teorema del valor medio predice que hay al menos un valor de x (= c) tal que la igualdad anterior es cierta.
La pendiente de la tangente viene dada por el valor de la primera derivada en x = c.
La primera derivada : f ' (x) = - 2 x + 7
pendiente m 1 de la tangente a la curva en x = c es igual a m 1 = f ' (c) = - 2 c + 7
La pendiente m 2 de la secante a través de los puntos (1 , f(1)) y (5 , f(5)) viene dada por
m 2 = (f(5) - f(1)) / (5 - 1) = (4 - 0) / ( 4 ) = 1
m 1 = m 2 da la ecuación
- 2 c + 7 = 1
c = 3
Comprueba la respuesta gráficamente
El punto de tangencia en x = c viene dado por (3 , f(3)) = (3 , 6)
Ecuación de la tangente:
y - 6 = (x - 3)
y = x + 3
En la figura 1 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de la tangente a la curva de f. La tangente y la secante tienen pendientes iguales y por lo tanto son paralelas.
Puede haber más de un valor de x ( = c) que satisfaga el teorema del valor medio, consulte el ejemplo 2 a continuación.
Ejemplo 2
Utilice el teorema del valor medio para encontrar todos los valores de x en el intervalo [0, 3] tales que la tangente en los puntos (c, f(c)) a la de la curva f(x) = x 3 - 5 x 2 + 7 x + 1 es paralela a la secante por los puntos (0 , f(0)) y (3 , f(3)).Solución al Ejemplo 2
La función f es una función polinomial y por lo tanto es continua y diferenciable del intervalo [1 , 3] y por lo tanto el teorema del valor medio predice que existe al menos un valor de x ( = c) tal que el tangente a la curva de f en x = c y la secante son paralelas y por lo tanto sus pendientes son iguales.pendiente de la tangente
La primera derivada : f ' (x) = 3 x 2 - 10 x + 7
La pendiente m 1 de la tangente en x = c es igual a m 1 = f ' (c) = 3 c 2 - 10 c + 7
La pendiente m 2 de la secante a través de los puntos (0 , f(0)) y (3 , f(3))
m 2 = (f(3) - f(0)) / (3 - 0) = (4 - 1) / (3 - 0) = 1
Para que la tangente a la curva en x = c y la secante a través de (0 , f(0)) y (3 , f(3)) sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales.
3 c 2 - 10 c + 7 = 1
que puede escribirse como
3 c 2 - 10 c + 6 = 0
Resolver usando fórmulas cuadráticas para obtener dos soluciones
c 1 = (5 - √7) / 3 ≈ 0.78 y c 2 = (5 + √7) / 3 ≈ 2.55
Comprueba la respuesta gráficamente
En la figura 2 a continuación se muestran las gráficas de la función dada y la gráfica de las dos tangentes a la curva de f paralelas a la secante por los puntos A(0 , f(0)) y B(3 , f(3)) .
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