Derivada de sec(x): Demostración y ejemplos

Derivación paso a paso usando la regla del cociente, gráfico, fórmula de la regla de la cadena y ejemplos resueltos

La derivada de \( \sec(x) \) se calcula utilizando la regla del cociente de las derivadas.

Demostración de la Derivada de sec(x)

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \sec x \) y \( \cos x \) está dada por:

\[ \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \]

Utilizamos la regla del cociente de la derivación para encontrar la derivada de \( \sec x \):

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x} \]

La derivada de la constante 1 es igual a cero. Utilizando la fórmula para la derivada de la función trigonométrica \( \cos x \), que es \( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \), sustituimos para obtener:

\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

Simplificamos:

\[ = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x \]
Fórmula: \[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x \]

Gráfico de sec(x) y Su Derivada

Los gráficos de \( \sec(x) \) y su derivada se muestran a continuación:

Gráfico de sec x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta sec(u(x))

Ahora consideramos la función compuesta secante de otra función \( u(x) \). Utilizamos la regla de la cadena de la derivación para escribir:

\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{du}{dx} \]
Fórmula de la Regla de la Cadena: \[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x) \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Secante Compuestas

Encuentre la derivada de las funciones secante compuestas:

  1. \( f(x) = \sec(x^2 + x - 1) \)
  2. \( g(x) = \sec(\sin x) \)
  3. \( h(x) = \sec(\sqrt{x+2}) \)

Soluciones:

  1. Sea \( u(x) = x^2 + x - 1 \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \).
    Aplicando la regla para la función secante compuesta: \[ f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1) \]
  2. Sea \( u(x) = \sin x \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
    Aplicando la regla: \[ g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x) \]
  3. Sea \( u(x) = \sqrt{x+2} \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \).
    Aplicando la regla: \[ h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}} \]

Más Referencias y Enlaces