La demostración de la derivada de \( \sin(x) \) se presenta utilizando la definición de la derivada. También se presenta la derivada de una función seno compuesta, incluyendo ejemplos con sus soluciones.
Demostración de la Derivada de sin(x) Usando la Definición
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) está dada por:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sea \( f(x) = \sin(x) \) y escriba la derivada de \( \sin(x) \) como un límite:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \]Utilice la fórmula \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \) para reescribir la derivada:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \]Reescriba \( f'(x) \) de la siguiente manera:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \]Utilice el teorema: el límite de la suma de funciones es igual a la suma de los límites de estas funciones:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \]Saque como factor común los términos independientes de \( h \):
\[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \]Ahora utilizamos los siguientes límites trigonométricos estándar:
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \](demostrado mediante el Teorema del Sándwich)
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \](demostrado en el cálculo de límites de funciones trigonométricas)
Sustituya estos límites en la expresión para \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x) \]Gráfico de sin(x) y Su Derivada
Los gráficos de \( \sin(x) \) y su derivada se muestran a continuación. Tenga en cuenta que cualquier mínimo o máximo de \( \sin(x) \) corresponde a un cero de la derivada \( \cos(x) \). Además, en cualquier intervalo donde \( \sin(x) \) sea creciente, la derivada es positiva, y donde \( \sin(x) \) sea decreciente, la derivada es negativa.
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Derivada de la Función Compuesta sin(u(x))
Consideremos la función compuesta seno de otra función \( u(x) \). Utilice la regla de la cadena de la derivación para escribir:
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \]Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Seno Compuestas
Encuentre la derivada de las funciones seno compuestas:
- \( f(x) = \sin(x^2 - x) \)
- \( g(x) = \sin(\sin x) \)
- \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)
Soluciones:
-
Sea \( u(x) = x^2 - x \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 \).
Aplicando la regla para la función seno compuesta: \[ f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x) \] -
Sea \( u(x) = \sin x \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \).
Aplicando la regla: \[ g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x) \] - Sea \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \). Utilizando la regla del cociente: \[ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2} \] Aplicando la regla: \[ h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \]