Hallar límites de funciones en cálculo

Nota que estamos buscando el límite cuando \( x \) se aproxima a 1 por la izquierda (\( x \to 1^- \) significa que \( x \) se aproxima a 1 por valores menores que 1). Por lo tanto:

\[ x < 1 \] \[ x - 1 < 0 \]

Si \( x - 1 < 0 \) entonces:

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

Factoriza el numerador y simplifica para obtener:

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

La respuesta final es:

\[ \boxed{-4} \]

Aunque el límite en cuestión es la razón de dos polinomios, \( x = 5 \) hace que tanto el numerador como el denominador sean iguales a cero. Necesitamos factorizar tanto el numerador como el denominador como se muestra a continuación.

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

Simplifica para obtener:

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

La respuesta final es:

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

Debemos observar el límite por la izquierda de 2 y el límite por la derecha de 2.

Cuando \( x \) se aproxima a 2 por la izquierda (\( x \to 2^- \)), \( x - 2 < 0 \), por lo tanto:

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

Sustituye para obtener el límite por la izquierda de 2 de la siguiente manera:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

Factoriza el numerador \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \):

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

Cuando \( x \) se aproxima a 2 por la derecha (\( x \to 2^+ \)), \( x - 2 > 0 \), por lo tanto:

\[ |x - 2| = x - 2 \]

Sustituye para obtener el límite por la derecha de 2 de la siguiente manera:

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

El límite por la derecha de 2 (8) y el límite por la izquierda de 2 (-8) no son iguales, por lo tanto el límite bilateral dado NO EXISTE.

Cuando \( x \) se aproxima a -1 por la derecha, \( \sqrt[3]{x+1} \) se aproxima a 0 y \( \ln(x+1) \) se aproxima a \( -\infty \), por lo tanto es una forma indeterminada \( 0 \times (-\infty) \).

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \).

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

Ahora utilizamos la regla de L'Hôpital y hallamos el límite.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

Por lo tanto, el límite es 0.

\[ \boxed{0} \]

A medida que \( x \) crece, \( x + 1 \) crece, \( \dfrac{1}{x+1} \) se aproxima a cero, \( e^{1/(x+1)} \) se aproxima a 1, y \( e^{1/(x+1)} - 1 \) se aproxima a 0; por lo tanto, es una forma indeterminada: \( \infty \times 0 \).

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

Reescribamos el límite para que sea de la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \):

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

Aplica el teorema de L'Hôpital para hallar el límite:

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

Por lo tanto:

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

Cuando \( x \) se aproxima a 9, tanto el numerador como el denominador se aproximan a 0. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

Desarrolla y simplifica:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

Ahora halla el límite mediante sustitución directa:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

El rango de la función coseno es:

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

Divide todos los términos de la desigualdad anterior entre \( x \), para \( x > 0 \):

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

Ahora, cuando \( x \to +\infty \), tanto \( -\dfrac{1}{x} \) como \( \dfrac{1}{x} \) se aproximan a 0. Por lo tanto, por el teorema de compresión, el límite es:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

Cuando \( t \) se aproxima a 0, tanto el numerador como el denominador se aproximan a 0 y tenemos la forma indeterminada \( 0 / 0 \).

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

Por lo tanto, se utiliza el teorema de L'Hôpital para calcular el límite anterior de la siguiente manera:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

Primero factorizamos \( 16x^2 \) bajo la raíz cuadrada del denominador, lo sacamos de la raíz cuadrada y reescribimos el límite como:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

Dado que \( x \) se aproxima a valores positivos más grandes (infinito), \( |x| = x \) y \( \dfrac{1}{16x^2} \) se aproxima a 0. Simplifica y halla el límite:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

Cuando \( x \) se aproxima a 2 por la izquierda, entonces \( x - 2 \) se aproxima a 0 por la izquierda o \( x - 2 < 0 \). El numerador se aproxima a 5 y el denominador se aproxima a 0 por la izquierda, por lo tanto el límite está dado por:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

Factoriza \( x^2 \) en el denominador y simplifica:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

A medida que \( x \) toma valores grandes (infinito), los términos \( \dfrac{2}{x} \) y \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a 0. Por lo tanto, el límite es:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

Multiplica el numerador y el denominador por \( t \):

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Reescribe la expresión utilizando manipulación algebraica:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

Utiliza el límite conocido \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). Sea \( u = 3t \), de modo que cuando \( t \to 0 \), \( u \to 0 \):

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

También:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

Por lo tanto, el límite es:

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

Factoriza \( x^2 \) dentro de la raíz cuadrada:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

Utiliza el hecho de que \( \sqrt{x^2} = |x| \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

Dado que \( x \) toma valores positivos grandes (infinito), entonces \( |x| = x \) y tanto \( \dfrac{1}{x} \) como \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a 0. Por lo tanto, tenemos la forma indeterminada \( \infty - \infty \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

Reinicia nuevamente con el límite dado, multiplica su numerador y denominador por el conjugado y simplifica:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \] \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

Factoriza \( x \) fuera del numerador y del denominador y simplifica:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

A medida que \( x \) crece, los términos \( \dfrac{1}{x} \) y \( \dfrac{1}{x^2} \) se aproximan a cero y el límite se evalúa como:

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

Sea \( z = 1 / x \) de modo que cuando \( x \) crece, \( z \) se aproxima a 0. Sustituye y calcula el límite de la siguiente manera:

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

\[ 3 \]

\[ 1 \]

\[ 1 \]

\[ \dfrac{1}{4} \]

\[ 0 \]

\[ 4 \]