Cómo hallar los límites de funciones de valor absoluto; se presentan varios ejemplos y soluciones detalladas junto con interpretaciones gráficas. Al final de la página se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Preguntas con soluciones detalladas
Haz clic en cada pregunta para ver su solución detallada paso a paso.
Pregunta 1
Halla el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} \)
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Los pasos para hallar el límite son:
\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{-1}{|-1|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \]Pregunta 2
Evalúa el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} \)
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Los pasos para hallar el límite son:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{1}{|1|} = 1 \]Pregunta 3
Halla el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \)
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Recuerda que:
\( |x| = x \) para \( x \ge 0 \) y \( |x| = -x \) para \( x < 0 \)
Calculemos el límite por la izquierda de \( x = 0 \) donde \( x < 0 \) y, por lo tanto, \( |x| = -x \):
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1 \]Calculemos el límite por la derecha de \( x = 0 \) donde \( x > 0 \) y, por lo tanto, \( |x| = x \):
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \]Los límites por la izquierda y por la derecha de \( x = 0 \) no son iguales, por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \quad \text{no existe} \]El gráfico de \( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \) se muestra a continuación, ilustrando que los límites por la izquierda y por la derecha de 0 no son iguales.
Pregunta 4
Evalúa el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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A medida que \( x \) aumenta indefinidamente, \( x > 0 \) y por lo tanto \( |x| = x \). Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]Pregunta 5
Halla el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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A medida que \( x \) disminuye indefinidamente, \( x < 0 \) y por lo tanto \( |x| = -x \). Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \]Pregunta 6
¿Existe el límite \( \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \)?
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Calculemos el límite por la izquierda de \( -2 \) (donde \( x \le -2 \)) y por la derecha de \( -2 \) (donde \( x \ge -2 \)) por separado.
Recuerda que:
Si \( x + 2 \ge 0 \) o \( x \ge -2 \), entonces \( |x + 2| = x + 2 \).
Si \( x + 2 \le 0 \) o \( x \le -2 \), entonces \( |x + 2| = -(x + 2) \).
Calculemos el límite por la izquierda de \( x = -2 \):
\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-1) = -1 \]Calculemos el límite por la derecha de \( x = -2 \):
\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]Los límites por la izquierda y por la derecha de \( x = -2 \) no son iguales, por lo tanto:
\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \quad \text{no existe} \]Pregunta 7
Halla el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)
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En \( x = 1 \), tanto el numerador como el denominador son iguales a cero, por lo que comparten un factor común de \( x - 1 \). Factorizando el numerador:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{|x - 1|} \]Recuerda que \( |x - 1| = x - 1 \) para \( x \ge 1 \) y \( |x - 1| = -(x - 1) \) para \( x \le 1 \).
Límite por la izquierda de \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]Límite por la derecha de \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \quad \text{no existe} \]El gráfico de \( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \) se muestra a continuación, mostrando claramente que los límites por la izquierda y por la derecha en 1 no son iguales.
Pregunta 8
Evalúa el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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A medida que \( x \) aumenta indefinidamente, \( x + 2 \) también aumenta indefinidamente y por lo tanto \( x + 2 \ge 0 \), por lo tanto:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} = +\infty \]Pregunta 9
Halla el límite: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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A medida que \( x \) disminuye indefinidamente, \( x + 2 \) también disminuye indefinidamente y por lo tanto \( x + 2 \le 0 \), por lo tanto:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{-(x + 2)} = +\infty \]El gráfico de \( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \) se muestra a continuación, ilustrando que \( y = f(x) \) aumenta indefinidamente a medida que \( x \) aumenta o disminuye indefinidamente.
Ejercicios
Calcula los siguientes límites. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{|x|} \)
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Ejercicio 2
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^-} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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Ejercicio 3
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^+} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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Ejercicio 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} \)