Discutir el concepto de funciones pares e impares de forma gráfica y analítica.
La gráfica de las funciones pares es simétrica con respecto al eje y.
Para demostrar analíticamente que una función dada f es par, necesitamos probar que:
La gráfica de las funciones impares es simétrica con respecto al origen (0,0).
Para demostrar analíticamente que una función dada f es impar, necesitamos probar que:
Las fórmulas de las funciones pares f, g, h e i se dan (ver gráficas arriba). Demuestre analíticamente que cada una de estas funciones satisface la propiedad de una función par: f(-x) = f(x).
Solución del Ejemplo 1Las fórmulas de las cuatro funciones f, g, h e i se dan con las gráficas de estas funciones. (ver la gráfica superior).
1) f(x) = x2
f(-x) = (- x)2 = (-x)(-x) = x2
De lo anterior, f(-x) = f(x), por lo tanto f(x) es una función par.
2) g(x) = - | x | + 2
g(-x) = - | - x | + 2
La función valor absoluto | x | es una función par, por lo tanto:
| - x | = | x |
simplificamos g(-x) a:
g(-x) = - | x | + 2
g(-x) = g(x), por lo tanto g(x) es una función par.
3) h(x) = 10 e- 0.2 x2
h(- x) = 10 e - 0.2 (- x) 2 = 10 e - 0.2 x 2
Dado que h(-x) = h(x), h(x) es una función par.
4) i(x) = 8 cos(x)
i(- x) = 8 cos( - x)
La función coseno es una función par, por lo tanto:
cos(-x) = cos(x)
lo que da:
i(- x) = 8 cos( - x) = 8 cos(x)
i(-x) = i(x) y por lo tanto i(x) es una función par.
Las fórmulas de las funciones impares j, k, l y m se dan (ver gráficas arriba). Demuestre analíticamente que cada una de estas funciones satisface la propiedad de una función impar: f(-x) = -f(x).
Solución del Ejemplo 2Las fórmulas de las cuatro funciones j, k, l y m se dan con las gráficas de estas funciones. (ver la gráfica superior).
1) j(x) = x3
j(-x) = (- x)3 = (-x)(-x)(-x) = - x3
De lo anterior, j(-x) = - j(x), por lo tanto j(x) es una función impar.
2) k(x) = - x
k(-x) = - (-x) = x
De lo anterior, k(-x) = - k(x), por lo tanto k(x) es una función impar.
3) l(x) = 6 sin(x)
l(-x) = 6 sin( - x)
La función seno es una función impar, por lo tanto:
sin(-x) = - sin(x)
lo que da:
l(-x) = 6 sin( - x) = - 6 sin(x)
l(-x) = - l(x) y por lo tanto l(x) es una función impar.
4) m(x) = ex - e-x
m(- x) = e(- x) - e-(-x)
Simplificar:
= e- x - ex
y reescribir como:
= - ( - e- x + ex )
m(-x) = - m(x) y por lo tanto m(x) es una función impar.
Verifique analíticamente si cada una de estas funciones es par, impar o ninguna de las dos.
1. f(x) = - 2 x2 + 4
2. g(x) = 3 | x | - x2
3. h(x) = 1 / x
4. i(x) = tan(x)
5. j(x) = x2 + 3 x
Soluciones detalladas a los ejercicios anteriores1. f(x) = - 2 x2 + 4
Encontremos f(-x) = - 2 (-x)2 + 4 = - 2 x2 + 4
f(-x) es igual a f(x), por lo tanto la función f es par.
2. g(x) = 3 | x | - x2
g(-x) = 3 | - x | - (-x)2 = 3 | x | - x2 y es igual a g(x), por lo tanto la función g es par.
3. h(x) = 1 / x
h(-x) = 1 / (-x) = - 1 / x y es igual a -h(x), por lo tanto h es impar.
4. i(x) = tan(x)
i(-x) = tan(-x) = - tan(x), la función i es impar.
5. j(x) = x2 + 3 x
j(-x) = (- x)2 + 3 (- x) = x2 - 3 x
j(-x) no es igual a j(x) y j(-x) no es igual a -j(x). Por lo tanto, j(x) no es ni una función par ni impar.