Gráficos del seno y el coseno funciones de la forma y = a sin(b x + c) + d y y = a cos(b x + c) + d
se discuten con varios ejemplos que incluyen soluciones detalladas.
Comenzamos con la gráfica de la función seno básica y = sin(x) y la función coseno básica g(x) = cos(x), luego presentamos ejemplos de cómo graficar versiones transformadas de estas mismas funciones. Una forma efectiva de usar este tutorial es comenzar desde el principio y seguir los ejemplos en orden.
Ejemplo 1
Encuentra el rango y el periodo de la función y = sin(x) y grafica.
Solución al Ejemplo 1
Un círculo unitario (con radio 1) centrado en el origen del sistema de ejes rectangulares tiene 4 puntos especiales correspondientes a 5 ángulos cuadráticos(0 , ?/2, ? 3?/2 y 2?) como se muestra en la figura 1 a continuación. Las coordenadas x e y de un punto en el círculo unitario son el coseno y el seno respectivamente del ángulo correspondiente.
siendo x el ángulo en posición estándar , del círculo unitario podemos concluir lo siguiente:
El rango de sin(x) (las coordenadas y) es el conjunto de todos los valores en el intervalo [-1 , 1] o en forma de desigualdad: - 1 ? sin(x) ? 1
Una vez que el ciclo de sin(x) puede comenzar en x = 0 y terminar en x = 2? después de la cual rotación, el valor de sin(x) se repite como se muestra en el círculo unitario, por lo tanto decimos que sin(x) tiene un
período
igual a 2?.
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Ejemplo 2
Encuentra el rango y el periodo de la función y = cos(x) y grafica.
Solución al Ejemplo 2
Usaremos los mismos 4 puntos especiales correspondientes a 5 ángulos cuadrantales (0 , ?/2, ? 3?/2 y 2?) como se muestra en el círculo unitario (figura 1 arriba). cos(x) viene dado por la coordenada x de un punto en el círculo unitario correspondiente al ángulo x en la posición estándar.
Del círculo unitario podemos concluir lo siguiente:
El rango de cos(x) (las coordenadas x) es el conjunto de todos los valores en el intervalo [-1, 1] en forma de desigualdad: - 1 ? cos(x) ? 1
Una vez que el ciclo de cos(x) puede comenzar en x = 0 y terminar en x = 2? después de esta rotación, el valor de cos(x) se repite periódicamente como se muestra en el círculo unitario, por lo que concluimos que cos(x) tiene un período igual a 2?.
Usamos los valores de cos(x) para diferentes valores de x del círculo unitario (ver figura 1). Usaremos la coordenada x (que da cos(x)) de los mismos 5 ángulos cuadrantales correspondientes a la variable x (0, ?/2, ? 3?/2 y 2?) de los cuales 2 valores (0, 2 ?) da el valor máximo 1 de cos(x), dos valores (?/2 , 3?/2) da ceros de cos(x) y un valor (?) da un valor mínimo a cos(x ) como se muestra en la siguiente tabla.
El gráfico de cos(x) se muestra a continuación durante un período de 0 a 2? (línea continua) y más períodos (línea discontinua).
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Ejemplo 3
Encuentra el rango y el periodo de la función y = 3 sin(x) y grafica.
Solución al Ejemplo 3
Comparando la función dada y = 3 sin(x) y la función seno básica y = sin(x) hay un factor de multiplicación de 3. No hay estiramiento o desplazamiento horizontal ya que la variable x aparece de la misma "manera" en ambos funciones
Período = 2?
Ya hemos hecho una tabla para sin(x) arriba, ampliémosla e incluyamos la función dada y = 3 sin(x) para graficar.
Nota: para obtener valores para la función 3 sin(x) multiplica los valores de la función sin(x) por 3 como se muestra en la siguiente tabla.
De la mesa; rango: -3 &l; 3 sin(x) ? 3
La gráfica de 3 sin(x) se muestra a continuación durante un período de 0 a 2? y como era de esperar, hay un estiramiento vertical de un factor de 3 (comparar con y = sin(x), rojo). El período no cambió como se esperaba, pero el rango ahora es: [-3 , 3] o en forma de desigualdad: -3 ? 3 sin(x) ? 3
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Ejemplo 4
Encuentra el rango y el periodo de la función y = -2 cos(x) y grafica.
Solución al Ejemplo 4
Comparando la función dada = - 2 cos(x) y la función coseno básica y = cos(x), hay un estiramiento vertical de un factor de 2 y también hay un reflejo en el eje x debido al menos en - 2 No hay estiramiento o desplazamiento horizontal ya que la variable x aparece de la misma "manera" en ambas funciones.
Período = 2?
Ya se hizo una tabla para cos(x) arriba, ampliémosla para incluir la función dada y = - 2 cos(x) para graficar.
De la mesa; rango: - 2 ? -2 cos(x) ? 2
[ - |a| , |un| ] o en forma de desigualdad - |a| ? y ? |un|
El gráfico de -2 cos(x) se muestra a continuación durante un período de 0 a 2? (línea continua azul) en comparación con y = cos(x) (rojo) y podemos ver que hay un estiramiento del factor 2 y una reflexión.
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Ejemplo 5
Encuentre el período de la función y = sin(2 x) y grafíquelo.
Solución al Ejemplo 5
Comparando la función dada y = sin(2 x) y la función seno básica y = sin(x), hay una reducción horizontal de un factor de 2.
Explicación
Para que la función y = sin(2 x) pase por un período, 2 x tendrá que ser como sigue
0 ? 2 x ? 2 ?
dividiendo todos los términos de la desigualdad anterior, obtenemos
0 ? x ? ? , este es el intervalo durante un período que se usará para graficar y = sin(2 x)
Por tanto, el período de sin(2x) = ? - 0 = ?
2?/ |b| , el período siempre es positivo.
Se hace una tabla para sin(2 x) de manera similar a y = sin(x) con una diferencia en los valores de x durante un período de 0 a ? (un período). 0, ? , ?/4 , ?/2 y 3?/4 dividen el período en 4 intervalos iguales. ?/2 es el valor medio de 0 y ?. ?/4 es el valor medio de 0 y ?/2 y así sucesivamente.
La gráfica de y = sin(2 x) se muestra a continuación durante un período de 0 a ? (línea continua azul) en comparación con y = sin(x) que tiene un período de 2?(rojo).
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Ejemplo 6
Encuentre el período, cambio de fase de la función y = cos(2 x - ?/4) y grafíquelo.
Solución al Ejemplo 6
Reescribe la función dada como
y = cos(2(x - ?/8))
Primero comenzamos ignorando el término - ?/8 y definimos un período para y = cos(2 x)
0 ? 2 x ? 2 y pi;
Divida todos los términos por 2 para obtener
0 ? x ? ? , el período es ? como ya se calculó anteriormente.
Para que la función y = cos(2(x - ?/8)) pase por un periodo las expresiones 2(x - ?/8) tendrán que quedar de la siguiente manera
0 ? 2(x - ?/8)? 2 ?
dividir todos los términos por 2
0 ? x - ?/8 ? ?
agregar ?/8 a todos los términos
?/8 ? x ? ? + ?/8, este es el intervalo durante un período que se usará para graficar y = cos(2 x - ?/4)
Cuando comparamos el intervalo de un periodo para cos(2 x) que es 0 ? x ? ? y el intervalo para un periodo de cos(2(x - ?/8)) que es ?/8 ? x ? ? + ?/8, la única diferencia es el
cambio de fase a la derecha por ?/8
- c/b. Si el cambio de fase es positivo, el cambio es a la derecha y si es negativo, el cambio es a la izquierda.
Construimos la tabla de valores de la siguiente manera:
Hemos visto anteriormente que en este ejemplo un período comienza en x = ?/8 y termina en x = ? + ?/8 = 9?/8. Por lo tanto, comenzamos la tabla usando estos dos puntos.
A continuación encontramos el valor medio entre x = ?/8 y x = 9?/8 , calculado de la siguiente manera: (1/2)(?/8 + 9?/8) = 5 ?/8 y lo ponemos en la mesa
A continuación encontramos el valor medio entre x = ?/8 y 5 ?/8 calculado de la siguiente manera: (1/2)(?/8 + 5?/8) = 3 ?/8 ; y el valor medio entre 5 ?/8 y 9?/8 calculado de la siguiente manera (1/2)(5?/8 + 9?/8) = 7 ?/8 y poner todo esto en la tabla de la siguiente manera
Hemos dividido el intervalo de un período en 4 intervalos iguales y estos facilitan la evaluación de la función dada y = sin(2x) que tendrá los mismos valores máximos y mínimos en una posición similar pero dentro del intervalo ?/8 , 9? /8. Ahora completamos la tabla poniendo los valores de la función.
La gráfica de y = cos(2 x - ?/4) (azul) se compara con la gráfica de cos(2 x) (roja). Son similares excepto por el desplazamiento de ?/8 a la derecha.
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Ejemplo 7
Encuentre el período y el cambio de fase de la función y = sin(3 x + ?/3) y grafíquelo.
Solución del Ejemplo 7
El periodo viene dado por: 2?/|b| = 2p/ 3
El cambio de fase se calcula de la siguiente manera
- c / b = - ( ?/3) / 3 = - ?/9
Esperamos que la gráfica de y = sin(3 x + ?/3) sea la gráfica de y = sin(3 x) desplazada por ?/9 a la izquierda debido al signo menos en el cambio de fase.
Para que la función y = sin(3 x + ?/3) pase por un periodo la expresión 3 x + ?/3 tendrá que quedar de la siguiente manera
0 ? 3 x + ?/3 ? 2 ?
Resuelva la desigualdad anterior para x para obtener el intervalo correspondiente a un período.
- ?/9 ? x ? 5p/9
Encuentre los valores medios como se hizo en el ejemplo 6 y complete la tabla de valores.
La gráfica de la función dada y = sin(3 x + ?/3) (azul) se compara con la gráfica de sin(3 x) (roja). Son similares excepto por el cambio de ?/9 a la izquierda.
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Ejemplo 8
Encuentre el rango, el período y el cambio de fase de la función y = cos(2 x - ?/4) y grafíquelo.
Solución al Ejemplo 8
Sabemos que el rango de sin(2 x - ?/5) viene dado por el intervalo [-1 , 1] o como desigualdad escribimos
- 1 &l; sin(2 x - ?/5) ? 1
Multiplica todos los términos de la desigualdad por - 2 y cambia los símbolos de la desigualdad
2 ? - 2 sin(2 x - ?/5) ? - 2
Sume + 1 a todos los términos de la desigualdad y reescriba como
- 2 + 1 ? -2 sin(2 x - ?/5) + 1 ? 2 + 1
Lo que da el rango de la función dada como
- 1 ? -2 sin(2 x - ?/5) + 3 ? 3
[ - |a| + re , |a| + d ] o en forma de desigualdad - |a| + d ? y ? |un| + d
El período está dado por
2p/|b| = 2?/|2| = ?
El cambio de fase está dado por
- c / b = - (- ?/5) / 2 = ?/10
Para graficar y = - 2 sin(2 x - ?/5) + 1 durante un período, la expresión (2 x - ?/5) tiene que pasar por un período de la siguiente manera
0 ? (2 x - ?/5) ? 2 y pi;
Resuelva la desigualdad anterior para obtener
?/10 ? x ? 11p/10
Use el valor más bajo ?/10 y el valor más alto 11?/10 en la desigualdad anterior (que da un período) para construir una tabla de valores dividiendo el período en 4 intervalos iguales de la siguiente manera
Es importante tener en cuenta que el gráfico durante un período está inscrito dentro de un rectángulo de longitud de ?/10 a 11?/10 que el intervalo sobre un período encontrado arriba al resolver la desigualdad 0 ? (2 x - ?/5) ? 2 y pi; y un ancho de los valores mínimo y máximo (rango) de y = - 2 sin(2 x - ?/5) + 1 igual a -2 + 1 = - 1 y 2 + 1 = 3 que ya es el rango encontrado en la tabla.
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Ejemplo 9
Grafica la función y = cos(2 x - ?/4) durante un periodo.
Solución del Ejemplo 9
En el ejemplo 8 anterior, vimos que el gráfico durante un período está inscrito dentro de un rectángulo de longitud el punto de inicio y el punto final de un período que se encuentra al resolver la desigualdad
0 ? 2x + 4pi/3 ? 2 y pi;
Lo que da
- 4p/6 ? x ? 2p/6
y ancho dado por el rango de y = 2 cos(2 x + 4?/3) - 2 que viene dado por el intervalo (ver fórmula dada arriba)
[ - |a| + re , |a| + d ] = [ - 2 - 2 , 2 + 2 ] = [ - 4 , 0] o en forma de desigualdad - 4 ? y ? 0
Se construye una tabla de valores utilizando el punto inicial y final: 4?/6 y 2?/6 que se encuentran arriba y dividiendo el período en 4 intervalos iguales y los valores medios. Entonces, los valores de la función cuyo rango ya se conoce se determinan fácilmente durante un período.
La gráfica de y = 2 cos(2 x + 4?/3) - 2 se muestra a continuación durante un período de - 4?/6 a 2?/6. Nótese de nuevo el rectángulo determinado arriba.
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Para cada función, encuentre los valores de x inicial y final durante un período, el rango y grafítelo durante un período.
1) y = (1/2) cos(3x - ?/6) + 1
2) y = - sin(0.5 x + ?/6) - 1
1) un período : ?/18 ? x ? 13?/18 , rango : [1/2 , 3/2] . Ver gráfico a continuación
Función seno
función coseno
círculo unitario
posición estándar del ángulo
rango de sin(x)
período de funciones trigonométricas
cambio de fase de una función seno
Propiedades de las seis funciones trigonométricas
