Este tutorial explica las propiedades más importantes de las funciones inversas, con ejemplos e interpretaciones gráficas. Para una introducción general, consulta el tutorial de funciones inversas.
Las principales propiedades de las funciones inversas se enumeran y discuten a continuación.
Solo las funciones uno a uno (inyectivas) tienen funciones inversas.
Si \( g \) es la inversa de \( f \), entonces \( f \) es la inversa de \( g \). En este caso, decimos que \( f \) y \( g \) son inversas entre sí.
Si \( f \) y \( g \) son inversas entre sí, entonces ambas funciones deben ser uno a uno (inyectivas).
Las funciones \( f \) y \( g \) son inversas entre sí si y solo si:
\[ (f \circ g)(x) = x, \quad x \text{ en el dominio de } g \] y \[ (g \circ f)(x) = x, \quad x \text{ en el dominio de } f \]
Ejemplo
Sea \[ f(x) = 3x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x}{3}. \] Entonces \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3\left(\frac{x}{3}\right) = x \] y \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{3x}{3} = x. \] Por lo tanto, \( f \) y \( g \) son inversas entre sí.
Si \( f \) y \( g \) son inversas entre sí, entonces:
El dominio de \( f \) es igual al rango de \( g \),
y el rango de \( f \) es igual al dominio de \( g \).
Ejemplo
Sea \[ f(x) = \sqrt{x - 3}. \]
El dominio de \( f \) es \[ [3, +\infty). \] El rango de \( f \) es \[ [0, +\infty). \]
Para encontrar la función inversa, elevamos al cuadrado ambos lados de \[ y = \sqrt{x - 3} \] e intercambiamos \( x \) e \( y \). Esto da \[ f^{-1}(x) = x^2 + 3. \]
De acuerdo con la Propiedad 4:
El dominio de \( f^{-1} \) es \[ [0, +\infty), \] y el rango de \( f^{-1} \) es \[ [3, +\infty). \]
Si \( f \) y \( g \) son inversas entre sí, entonces sus gráficas son reflexiones una de la otra a través de la línea \[ y = x. \]
Ejemplo
A continuación se muestran las gráficas de \[ f(x) = \sqrt{x - 3} \] y su inversa \[ f^{-1}(x) = x^2 + 3, \quad x \ge 0. \]
Si el punto \( (a, b) \) pertenece a la gráfica de \( f \), entonces el punto \[ (b, a) \] pertenece a la gráfica de la función inversa \( f^{-1} \).