Un conjunto de vectores se llama ortonormal si cada vector en el conjunto tiene una longitud (o norma) igual a 1 y cada vector en el conjunto es ortogonal a todos los demás vectores del conjunto.
Una matriz Q cuyas columnas forman un conjunto de vectores ortonormales tiene la propiedad
QT Q = In
donde QT es la matriz traspuesta de Q .
forman un conjunto de vectores ortonormales .
Una matriz \( A \) de \( m \times n \), cuyas columnas forman un conjunto de vectores linealmente independientes, se puede factorizar (o descomponer) como el producto de dos matrices \( Q \) y \( R \) de la siguiente manera:
\[ A = Q R \]
donde \( Q \) es una matriz de \( m \times n \) cuyas columnas forman un conjunto ortonormal de vectores y \( R \) es una matriz triangular superior de \( n \times n \).
La matriz \( Q \) tiene columnas ortonormales y, por lo tanto, tiene la propiedad discutida anteriormente
\( Q^T Q = I_n \)
donde \( I_n \) es la matriz identidad de \( n \times n \)
Ahora describimos el proceso de Gram-Schmidt para factorizar una matriz \( A \) con columnas linealmente independientes.
Paso 1: Escribimos la matriz \( A \) como
\( A = [v_1 v_2 .... v_n] \)
donde \( v_1 \) , \( v_2 \) .... \( v_n \) son vectores columna
Paso 2: Usa el proceso de Gram-Schmidt para generar un conjunto ortonormal de vectores \( q_1 \) , \( q_2 \) .... \( q_n \) a partir de los vectores \( v_1 \) , \( v_2 \) .... \( v_n \)
Paso 3: Escribe la matriz \( A \) como el producto de dos matrices
\[ A = Q R \]
donde \( Q \) es una matriz de \( m \times n \) con columnas ortonormales \( q_1 \) , \( q_2 \) .... \( q_n \) generadas en el paso 2 y \( R \) como una matriz triangular superior de \( n \times n \) dada por
\[ R = Q^T A \].
¿Cómo obtener \( R = Q^T A \)?
Multiplica ambos lados de la ecuación \( A = Q R \) por \( Q^T \)
\( Q^T A = Q^T Q R \)
Usa la propiedad \( Q^T Q = I_n \) de matrices con columnas ortonormales discutida anteriormente
\( Q^T A = I_n R \)
Simplifica para obtener
\[ R = Q^T A \]
Ejemplo 1
Encuentra la descomposición (o factorización) \( QR \) de la matriz \( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\).
Solución al Ejemplo 1
Sean \( \textbf v_1 , \textbf v_2 , \textbf v_3 \) las columnas de la matriz \( A \).
\( \textbf {v}_1 = \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} \) , \( \textbf {v}_2 = \begin{bmatrix}
0\\
2\\
-1
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf {v}_3 = \begin{bmatrix}
2\\
0\\
1
\end{bmatrix} \)
Usa el proceso de Gram-Schmidt para generar vectores ortonormales
\( \textbf {q}_1 = \begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix} \) , \( \textbf {q}_2 = \begin{bmatrix}
0\\
\dfrac{2}{\sqrt 5}\\
-\dfrac{1}{\sqrt 5}
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf {q}_3 = \begin{bmatrix}
0\\
\dfrac{1}{\sqrt 5}\\
\dfrac{2}{\sqrt 5}
\end{bmatrix} \)
Ahora escribimos la matriz \( Q \) cuyas columnas son los vectores \( \textbf q_1 , \textbf q_2 , \textbf q_3 \)
\( Q = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{1}{\sqrt 5} \\
0 & -\dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}
\end{bmatrix}
\)
Ahora calculamos \( R \)
\( R = Q^T A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{2}{\sqrt 5} & - \dfrac{1}{\sqrt 5} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}1&0&2\\
0&\sqrt{5}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\
0&0&\frac{2}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}
\)
Ahora escribimos la matriz dada \( A \) en forma factorizada de la siguiente manera
\( A = Q R = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{1}{\sqrt 5} \\
0 & -\dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0&2\\
0&\sqrt{5}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\
0&0&\frac{2}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 2
Encuentra la descomposición (o factorización) \( QR \) de la matriz \( A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\).
Solución al Ejemplo 2
Sean \( \textbf v_1 , \textbf v_2 , \textbf v_3 \) las columnas de la matriz \( A \).
\( \textbf {v}_1 = \begin{bmatrix}
0\\
0\\
-1\\
0
\end{bmatrix} \) , \( \textbf {v}_2 = \begin{bmatrix}
1\\
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf {v}_3 = \begin{bmatrix}
0\\
2\\
1\\
1
\end{bmatrix} \)
Usa el proceso de Gram-Schmidt para generar vectores ortonormales
\( \textbf {q}_1 = \begin{bmatrix}
0 \\
0\\
-1\\
0
\end{bmatrix} \) , \( \textbf {q}_2 = \begin{bmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt 3}\\
\dfrac{1}{\sqrt 3}\\
0\\
-\dfrac{1}{\sqrt 3}
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf {q}_3 = \begin{bmatrix}
- \dfrac{1}{\sqrt {42}}\\
\dfrac{5}{\sqrt {42}}\\
0\\
\dfrac{4}{\sqrt {42}}\\
\end{bmatrix} \)
Ahora escribimos la matriz \( Q \) cuyas columnas son los vectores \( \textbf q_1 , \textbf q_2 , \textbf q_3 \)
\( Q = \begin{bmatrix}
0 & \dfrac{1}{\sqrt 3} & - \dfrac{1}{\sqrt {42}}\\
0 & \dfrac{1}{\sqrt 3} & \dfrac{5}{\sqrt {42} }\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & -\dfrac{1}{\sqrt 3} & \dfrac{4}{\sqrt {42}}
\end{bmatrix}
\)
Ahora calculamos \( R \)
\( R = Q^T A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 & 0\\
\dfrac{1}{\sqrt 3} & \dfrac{1}{\sqrt 3} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt 3}\\
- \dfrac{1}{\sqrt {42}} & \dfrac{5}{\sqrt {42} } & 0 & \dfrac{4}{\sqrt {42} }
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&\sqrt{3}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\
0&0&\sqrt{\frac{14}{3}}
\end{bmatrix}
\)
Ahora escribimos la matriz dada \( A \) en forma factorizada de la siguiente manera
\( A = Q R =
\begin{bmatrix}
0 & \dfrac{1}{\sqrt 3} & - \dfrac{1}{\sqrt {42}}\\
0 & \dfrac{1}{\sqrt 3} & \dfrac{5}{\sqrt {42} }\\
-1 & 0 & 0 \\
0 & -\dfrac{1}{\sqrt 3} & \dfrac{4}{\sqrt {42}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&\sqrt{3}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\
0&0&\sqrt{\frac{14}{3}}
\end{bmatrix}
\)