¿Qué son los radicales en matemáticas?
Esta página define los radicales en matemáticas con ejemplos y diagramas claros. Aprenderás cómo los radicales actúan como operaciones inversas a los exponentes. Al final de la página, encontrarás preguntas de práctica con soluciones detalladas, paso a paso, para poner a prueba tu comprensión.
Entendiendo la potencia de $n$
Para entender los radicales, primero debemos revisar las potencias (o exponentes). Sea la operación de potencia de $2$ representada por el siguiente diagrama:
Más ejemplos de la operación de potencia de $2$:
- Entrada = $4 \implies$ Salida = $4^2 = 4 \times 4 = 16$
- Entrada = $10 \implies$ Salida = $10^2 = 10 \times 10 = 100$
De manera similar, el siguiente diagrama representa la operación de potencia de $3$:
Más ejemplos de la operación de potencia de $3$:
- Entrada = $3 \implies$ Salida = $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
- Entrada = $1 \implies$ Salida = $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
- Entrada = $4 \implies$ Salida = $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
Potencia general de $n$:
$$a^n = a \times a \times a \dots \times a \quad \text{(multiplicado } n \text{ veces)}$$
Definición de radicales
1. Radical con índice 2 (Raíz cuadrada)
La raíz cuadrada es la operación inversa de la potencia de $2$. Intercambiamos la entrada y la salida. Por ejemplo, si la entrada es $9$, la salida de la operación inversa es $3$.
Lo escribimos como:
$$\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{porque} \quad 9 = 3^2$$
- Entrada = $16 \implies$ Salida = $\sqrt{16} = 4 \quad \text{(porque } 4^2 = 16\text{)}$
- Entrada = $25 \implies$ Salida = $\sqrt{25} = 5 \quad \text{(porque } 5^2 = 25\text{)}$
Terminología: El símbolo $\sqrt{\phantom{x}}$ es el radical. El número $2$ es el índice. El número dentro del radical es el radicando.
Nota: Por convención, un radical con un índice de $2$ (raíz cuadrada) se escribe sin el $2$. Simplemente escribimos $\sqrt{\phantom{x}}$.
2. Radical con índice 3 (Raíz cúbica)
La operación inversa de la potencia de $3$ se llama raíz cúbica.
Lo escribimos como:
$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{porque} \quad 8 = 2^3$$
- Entrada = $27 \implies$ Salida = $\sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{(porque } 3^3 = 27\text{)}$
- Entrada = $125 \implies$ Salida = $\sqrt[3]{125} = 5 \quad \text{(porque } 5^3 = 125\text{)}$
3. Radical general con índice $n$ (Raíz enésima)
Podemos generalizar los radicales con cualquier índice $n$ (donde $n$ es un número entero mayor que 0):
$$\text{Si } y = a^n, \text{ entonces } \sqrt[n]{y} = a$$
Más ejemplos:
- $y = 3^5 = 243$, por lo tanto $\sqrt[5]{243} = 3$
- $y = 10^6 = 1,000,000$, por lo tanto $\sqrt[6]{1,000,000} = 10$
- $y = (-2)^3 = -8$, por lo tanto $\sqrt[3]{-8} = -2$
- $y = 1^{20} = 1$, por lo tanto $\sqrt[20]{1} = 1$ (En general, $\sqrt[n]{1} = 1$)
- $y = 0^9 = 0$, por lo tanto $\sqrt[9]{0} = 0$ (En general, $\sqrt[n]{0} = 0$)
RESTRICCIÓN IMPORTANTE: Estas relaciones NO son válidas en los números reales si $n$ es un número entero PAR y $y$ es NEGATIVO.
- $\sqrt{-16}$ está indefinido en los números reales porque no existe un número real $x$ tal que $x^2 = -16$. (El cuadrado de un número real siempre es positivo o cero).
- $\sqrt[4]{-1}$ está indefinido en los números reales por la misma razón.
Los radicales y las potencias se anulan entre sí
Los radicales y las operaciones de potencia con el mismo índice se anulan entre sí. Debido a que son operaciones inversas, aplicar ambas sucesivamente devuelve la entrada original.
Ejemplo: La raíz cuadrada deshace la potencia de $2$
Escrito matemáticamente: $$\sqrt{3^2} = 3$$
Ejemplo: La potencia de $2$ deshace la raíz cuadrada
Escrito matemáticamente: $$(\sqrt{9})^2 = 9$$
Más ejemplos:
- $(\sqrt{12})^2 = 12$
- $\sqrt{8^2} = 8$
- $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$
- $(\sqrt[3]{10})^3 = 10$
En general, para $a \ge 0$, podemos escribir:
$$\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{y} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a$$
Preguntas de Práctica
Nota: NO utilices una calculadora para responder a las siguientes preguntas.
-
Dadas las siguientes potencias:
$2^6 = 64$, $\; 3^5 = 243$, $\; 5^3 = 125$, $\; 0^7 = 0$, $\; 1^{20} = 1$, $\; 2^9 = 512$, $\; 5^5 = 3125$, $\; 10^5 = 100000$, $\; 0.1^3 = 0.001$
Encuentra los valores exactos de los siguientes radicales:
$\sqrt[9]{512}$, $\; \sqrt[5]{3125}$, $\; \sqrt[5]{243}$, $\; \sqrt[6]{64}$, $\; \sqrt[3]{0.001}$, $\; \sqrt[20]{1}$, $\; \sqrt[5]{100000}$, $\; \sqrt[7]{0}$, $\; \sqrt[3]{125}$
Ver Solución
- $\sqrt[9]{512} = \mathbf{2} \quad$ (porque nos dan $2^9 = 512$)
- $\sqrt[5]{3125} = \mathbf{5} \quad$ (porque $5^5 = 3125$)
- $\sqrt[5]{243} = \mathbf{3} \quad$ (porque $3^5 = 243$)
- $\sqrt[6]{64} = \mathbf{2} \quad$ (porque $2^6 = 64$)
- $\sqrt[3]{0.001} = \mathbf{0.1} \quad$ (porque $0.1^3 = 0.001$)
- $\sqrt[20]{1} = \mathbf{1} \quad$ (porque $1^{20} = 1$. Nota: $\sqrt[n]{1} = 1$ para cualquier $n > 0$)
- $\sqrt[5]{100000} = \mathbf{10} \quad$ (porque $10^5 = 100000$)
- $\sqrt[7]{0} = \mathbf{0} \quad$ (porque $0^7 = 0$. Nota: $\sqrt[n]{0} = 0$ para cualquier $n > 0$)
- $\sqrt[3]{125} = \mathbf{5} \quad$ (porque $5^3 = 125$)
-
Dados los siguientes radicales:
$\sqrt{64} = 8$, $\; \sqrt[5]{7776} = 6$, $\; \sqrt[3]{1000} = 10$, $\; \sqrt[7]{128} = 2$, $\; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$, $\; \sqrt{10000} = 100$, $\; \sqrt[4]{20736} = 12$, $\; \sqrt[9]{512} = 2$
Encuentra los valores de las siguientes potencias:
$2^7$, $\; 0.1^7$, $\; 6^5$, $\; 8^2$, $\; 2^9$, $\; 12^4$, $\; 10^3$, $\; 100^2$
Ver Solución
- $2^7 = \mathbf{128} \quad$ (porque nos dan $\sqrt[7]{128} = 2$)
- $0.1^7 = \mathbf{0.0000001} \quad$ (porque $\sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$)
- $6^5 = \mathbf{7776} \quad$ (porque $\sqrt[5]{7776} = 6$)
- $8^2 = \mathbf{64} \quad$ (porque $\sqrt{64} = 8$)
- $2^9 = \mathbf{512} \quad$ (porque $\sqrt[9]{512} = 2$)
- $12^4 = \mathbf{20736} \quad$ (porque $\sqrt[4]{20736} = 12$)
- $10^3 = \mathbf{1000} \quad$ (porque $\sqrt[3]{1000} = 10$)
- $100^2 = \mathbf{10000} \quad$ (porque $\sqrt{10000} = 100$)
-
Simplifica las siguientes expresiones:
$\sqrt{5^2}$, $\; (\sqrt[5]{3})^5$, $\; \sqrt[3]{10^3}$, $\; (\sqrt[7]{128})^7$
Ver Solución
- $\sqrt{5^2} = \mathbf{5} \quad$ (Porque la raíz cuadrada y la potencia de $2$ se anulan)
- $(\sqrt[5]{3})^5 = \mathbf{3} \quad$ (Porque el radical de índice $5$ y la potencia de $5$ se anulan)
- $\sqrt[3]{10^3} = \mathbf{10} \quad$ (Porque la raíz cúbica y la potencia de $3$ se anulan)
- $(\sqrt[7]{128})^7 = \mathbf{128} \quad$ (Porque el radical de índice $7$ y la potencia de $7$ se anulan)