¿Qué son los radicales en matemáticas?

Los radicales en matemáticas se definen con ejemplos y soluciones detalladas. También se presentan preguntas con sus soluciones.\( \) \( \)

Potencia de \( n \)

Sea la siguiente operación de potencia de \( 2 \) (o exponente) representada por el diagrama: operación de potencia 2 Más ejemplos de entradas y salidas de la operación de potencia \( 2 \):
Entrada = \( 4 \quad , \quad \) Salida = \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
Entrada = \( 10 \quad , \quad \) Salida = \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \)
El siguiente diagrama representa la operación de potencia \( 3 \) (o exponente): operación de potencia 3 Más ejemplos de entradas y salidas de la operación de potencia \( 3 \):
Entrada = \( 3 \quad , \quad \) Salida = \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
Entrada = \( 1 \quad , \quad \) Salida = \( 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1 \)
Entrada = \( 4 \quad , \quad \) Salida = \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
Potencia general de \( n \): \[ a^n = a \times a \times a .... \times a \text{, n veces} \]

Definición de radicales

El radical de índice 2 (o raíz cuadrada) es la inversa de la potencia 2

Representemos la operación inversa de la potencia \( 2 \) como se muestra:
Intercambiamos la entrada \( 3 \) y salida \( 9 \) de la potencia 2 para convertirlas en salida \( 3 \) y entrada \( 9 \) de la operación inversa: operación de radical con índice 2 o raíz cuadrada Y escribimos: \[ \sqrt[\color\red{\Large 2}]{ 9 } = 3 \text{ porque } 9 = 3^{\color\red{2}} \]
Más ejemplos:
Entrada = \( 16 \quad , \quad \) Salida = \( \sqrt[2]{16} = 4 \quad \text{porque} \quad 4^2 = 16 \)
Entrada = \( 25 \quad , \quad \) Salida = \( \sqrt[2]{25} = 5 \quad \text{porque} \quad 5^2 = 25 \)
El símbolo \( \sqrt{ } \) se llama radical y \( 2 \) es el índice. El número dentro del radical se llama radicando. Esta operación se llama raíz cuadrada. radical, radicando e índice
NOTA Por convención, el radical de índice 2 (raíz cuadrada) se escribe sin el índice \( 2 \): \( \sqrt{\;\;} \).

Radicales con índice 3 (o raíz cúbica) es la inversa de la potencia 3

La operación inversa de la potencia \( 3 \) se llama raíz cúbica: operación de radical con índice 3 o raíz cúbica Y escribimos: \[ \sqrt[\color\red{\Large 3}]{ 8 } = 2 \text{ porque } 8 = 2^{\color\red{3}} \]
Más ejemplos:
Entrada = \( 27 \) , Salida = \( \sqrt[3]{27} = 3 \) porque \( 3^3 = 27 \)
Entrada = \( 125 \) , Salida = \( \sqrt[3]{125} = 5 \) porque \( 5^3 = 125 \)

En general, radicales con índice \( n \) (o raíz \(n\)-ésima) es la inversa de la potencia \( n \)

Generalizamos y definimos radicales con índice \( n \) (número entero):

Si \( y = a^n \), entonces \( \sqrt[n]{y} = a \) (I)

Más ejemplos
\( y = 3^5 = 243 \), por tanto \( \sqrt[5]{243} = 3 \)
\( y = 10^6 = 1000000 \), por tanto \( \sqrt[6]{1000000} = 10 \)
\( y = (-2)^3 = -8\), por tanto \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( y = 1^{20} = 1\), por tanto \( \sqrt[20]{1} = 1 \) (en general \( \sqrt[n]{1} = 1 \) para cualquier \( n \) entero)
\( y = 0^9 = 0\), por tanto \( \sqrt[9]{0} = 0 \) (en general \( \sqrt[n]{0} = 0 \) para cualquier \( n \) entero)
NOTA Las relaciones en (I) no son válidas si \( n \) es PAR y \( y \) es NEGATIVO.
a) \( \sqrt{-16} \) es INDEFINIDO en los reales, porque no existe \( x \) real tal que \( x^2 = -16 \) (el cuadrado de un real siempre es ≥ 0).
b) \( \sqrt[4]{-1} \) es INDEFINIDO en los reales, por la misma razón.

La potencia y el radical correspondiente se anulan mutuamente

Los radicales y las potencias del mismo índice se anulan. Si aplicamos ambas operaciones sucesivamente, la salida es igual a la entrada.
El radical de índice 2 anula la potencia \( 2 \): radical con índice 2 anula potencia 2 Se escribe: \[ \sqrt{3^2} = 3 \]
La potencia \( 2 \) anula el radical de índice 2:
potencia 2 anula radical con índice 2
Se escribe: \[ (\sqrt{9})^2 = 9 \]
Más ejemplos: \( (\sqrt {12})^2 = 12 \), \( \sqrt {8^2} = 8 \)
El radical de índice 3 y la potencia \( 3 \) se anulan:
Ejemplos: \( (\sqrt[3]{5})^3 = 5 \), \( (\sqrt[3]{10})^3 = 10 \)
En general, para \( a \ge 0 \):

\( \sqrt[n]{a^n} = a \), \( (\sqrt[n]{a}\;)^n = a \) (II)

Preguntas (con soluciones abajo)

NO uses calculadora para las siguientes preguntas.

Parte 1 - Dado lo siguiente:
\( 2^6 = 64 \), \( 3^5 = 243 \), \( 5^3 = 125 \), \( 0^7 = 0 \), \( 1^{20} = 1 \), \( 2^9 = 512 \), \( 5^5 = 3125 \), \( 10^5 = 100000 \), \( 0.1^3 = 0.001 \)
Encuentra:
\( \sqrt{512} \), \( \sqrt[5]{3125} \), \( \sqrt[5]{243} \), \( \sqrt[6]{64} \), \( \sqrt[3]{0.001} \), \( \sqrt[20]{1} \), \( \sqrt[5]{100000} \), \( \sqrt[7]{0} \), \( \sqrt[3]{125} \)
Parte 2 - Dado lo siguiente:
\( \sqrt{64} = 8 \), \( \sqrt[5]{7776} = 6\), \( \sqrt[3]{1000} = 10 \), \( \sqrt[7]{128} = 2\), \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\), \( \sqrt{10000} = 100\), \( \sqrt[4]{20736} = 12\), \( \sqrt[9]{512} = 2\)
Encuentra:
\( 2^7 \), \( 0.1^7 \), \( 6^5 \), \( 8^2 \), \( 2^9 \), \( 12^4 \), \( 10^3 \), \( 100^2 \)
Parte 3 - Simplifica:
\( \sqrt{5^2} \), \( (\sqrt[5]{3})^5\), \( \sqrt[3]{10^3} \), \( (\sqrt[7]{128})^7 \)

Soluciones

Parte 1
Dado: \( 2^6 = 64 \), \( 3^5 = 243 \), \( 5^3 = 125 \), \( 0^7 = 0 \), \( 1^{20} = 1 \), \( 2^{9} = 512 \), \( 5^5 = 3125 \), \( 10^5 = 100000 \), \( 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt{512} = 9 \) (porque \( 2^9 = 512 \), índice 2 no se escribe).
\( \sqrt[5]{3125} = 5 \) (por \( 5^5 = 3125 \)).
\( \sqrt[5]{243} = 3 \) (por \( 3^5 = 243 \)).
\( \sqrt[6]{64} = 2 \) (por \( 2^6 = 64 \)).
\( \sqrt[3]{0.001} = 0.1 \) (por \( 0.1^3 = 0.001 \)).
\( \sqrt[20]{1} = 1 \) (en general \( \sqrt[n]{1} = 1 \)).
\( \sqrt[5]{100000} = 10 \) (por \( 10^5 = 100000 \)).
\( \sqrt[7]{0} = 0 \) (en general \( \sqrt[n]{0} = 0 \)).
\( \sqrt[3]{125} = 5 \) (por \( 5^3 = 125 \)).
Parte 2
Dado: \( \sqrt{64} = 8 \), \( \sqrt[5]{7776} = 6\), \( \sqrt[3]{1000} = 10 \), \( \sqrt[7]{128} = 2\), \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\), \( \sqrt{10000} = 100\), \( \sqrt[4]{20736} = 12\), \( \sqrt[9]{512} = 2\)
\( 2^7 = 128 \) (por \( \sqrt[7]{128} = 2 \)).
\( 0.1^7 = 0.0000001 \) (por \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1 \)).
\( 6^5 = 7776 \) (por \( \sqrt[5]{7776} = 6 \)).
\( 8^2 = 64 \) (por \( \sqrt{64} = 8 \)).
\(2^9 = 512\) (por \( \sqrt[9]{512} = 2 \)).
\( 12^4 = 20736 \) (por \( \sqrt[4]{20736} = 12 \)).
\(10^3 = 1000 \) (por \( \sqrt[3]{1000} = 10 \)).
\(100^2 = 10000 \) (por \( \sqrt{10000} = 100 \)).
Parte 3
\( \sqrt{5^2} = 5 \) (raíz cuadrada y potencia 2 se anulan).
\( (\sqrt[5]{3})^5 = 3 \) (potencia 5 y raíz quinta se anulan).
\( \sqrt[3]{10^3} = 10 \) (raíz cúbica y potencia 3 se anulan).
\( (\sqrt[7]{128})^7 = 128 \) (potencia 7 y raíz séptima se anulan).