Se usa la definición de la derivada para probar la fórmula de la derivada de \( \cos (x)\). También se presenta la derivada de una función coseno compuesta, incluyendo ejemplos con sus soluciones.
Prueba de la Derivada de cos x Usando la Definición
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Tomemos \( f(x) = \cos(x) \) y escribamos la derivada de \( \cos(x) \) como un límite
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} \)
Usemos la fórmula \( \cos(x+h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)\) para reescribir la derivada de \( cos(x) \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h} \)
Reescribimos \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) (cos(h) - 1) - \sin(x) \sin(h))}{h} \)
Usamos el teorema sobre límites que establece: el límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de los límites, para reescribir \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) (cos(h) - 1)}{h} - \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) \sin(h)}{h} \)
Reescribimos lo anterior como
\( f'(x) = \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ (cos(h) - 1)}{h} - \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ \sin(h)}{h} \)
Ahora usamos los resultados bien conocidos sobre los límites de funciones trigonométricas
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \) , probado en el teorema del emparedado para encontrar límites de funciones matemáticas.
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{cos(h) - 1}{h} = 0 \) , probado en cálculo de límites de funciones trigonométricas
para simplificar \( f'(x) \) a
\( f'(x) = \sin(x) (0) - \sin(x) (1) = - sin(x) \)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \cos x = - \sin x } \]
Gráfico de cos x y su Derivada
Se muestran los gráficos de \( \cos(x) \) y su derivada a continuación. Note que en cualquier máximo o mínimo de \( \cos(x) \) corresponde un cero de la derivada. Para cualquier intervalo en el que \( \cos(x) \) esté aumentando, la derivada es positiva y para cualquier intervalo en el que \( \cos(x) \) esté disminuyendo, la derivada es negativa.
Tomemos \( u(x) = 2x+2 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (2x+2) = 2 \) y aplicamos la regla para la función cos compuesta dada anteriormente
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \dfrac{d}{dx} \cos(u) = -\sin u \dfrac{d}{dx} u = -\sin (2x+2) \times 2 \)
\( = - 2 \sin (2x+2) \)
Tomemos \( u(x) = \tan x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \) y aplicamos la regla de derivación anterior para la función cos compuesta
Tomemos \( u(x) = \left(\dfrac{x^2}{x^2+1} \right) \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2} \) y aplicamos la regla de derivación para la función cos compuesta obtenida anteriormente