Prueba de la Derivada de cos x

Se usa la definición de la derivada para probar la fórmula de la derivada de \( \cos (x)\). También se presenta la derivada de una función coseno compuesta, incluyendo ejemplos con sus soluciones.

Prueba de la Derivada de cos x Usando la Definición

La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Tomemos \( f(x) = \cos(x) \) y escribamos la derivada de \( \cos(x) \) como un límite
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} \)
Usemos la fórmula \( \cos(x+h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)\) para reescribir la derivada de \( cos(x) \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h} \)
Reescribimos \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) (cos(h) - 1) - \sin(x) \sin(h))}{h} \)
Usamos el teorema sobre límites que establece: el límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de los límites, para reescribir \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) (cos(h) - 1)}{h} - \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) \sin(h)}{h} \)
Reescribimos lo anterior como
\( f'(x) = \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ (cos(h) - 1)}{h} - \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ \sin(h)}{h} \)

Ahora usamos los resultados bien conocidos sobre los límites de funciones trigonométricas
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \) , probado en el teorema del emparedado para encontrar límites de funciones matemáticas.
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{cos(h) - 1}{h} = 0 \) , probado en cálculo de límites de funciones trigonométricas
para simplificar \( f'(x) \) a
\( f'(x) = \sin(x) (0) - \sin(x) (1) = - sin(x) \)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \cos x = - \sin x } \]

Gráfico de cos x y su Derivada

Se muestran los gráficos de \( \cos(x) \) y su derivada a continuación. Note que en cualquier máximo o mínimo de \( \cos(x) \) corresponde un cero de la derivada. Para cualquier intervalo en el que \( \cos(x) \) esté aumentando, la derivada es positiva y para cualquier intervalo en el que \( \cos(x) \) esté disminuyendo, la derivada es negativa.

Gráfico de cos x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta cos(u(x))

Ahora consideramos la función compuesta cos de otra función u(x). Usamos la regla de la cadena para la derivación para escribir

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \cos (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \cos u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplificamos

\( = - \sin u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusión

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \cos (u(x)) = - \sin u \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo 1
Encuentre la derivada de las funciones cos compuestas

  1. \( f(x) = \cos (2x + 2) \)
  2. \( g(x) = \cos (\tan(x)) \)
  3. \( h(x) = \cos \left(\dfrac{x^2}{x^2+1} \right) \)

Solución al Ejemplo 1


  1. Tomemos \( u(x) = 2x+2 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (2x+2) = 2 \) y aplicamos la regla para la función cos compuesta dada anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \dfrac{d}{dx} \cos(u) = -\sin u \dfrac{d}{dx} u = -\sin (2x+2) \times 2 \)

    \( = - 2 \sin (2x+2) \)


  2. Tomemos \( u(x) = \tan x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \) y aplicamos la regla de derivación anterior para la función cos compuesta

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \dfrac{d}{dx} \cos(u) = - \sin u \dfrac{d}{dx} u = - \sin (\tan x) \times (\sec^2 x) \)

    \( = - \sec^2 x \; \sin (\tan x) \)


  3. Tomemos \( u(x) = \left(\dfrac{x^2}{x^2+1} \right) \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2} \) y aplicamos la regla de derivación para la función cos compuesta obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \dfrac{d}{dx} \cos(u) = - \sin u \dfrac{d}{dx} u = - \sin (\frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}) \times ( \dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}) \)

    \( = - \dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)^2} \cos \left(\dfrac{x^2}{x^2+1} \right) \)


Más Referencias y Enlaces

derivada
definición de la derivada
uso del teorema del emparedado para encontrar límites de funciones matemáticas.
cálculo de límites de funciones trigonométricas
Regla de la Cadena para Derivadas en Cálculo.