La demostración de la derivada de las funciones cuadráticas se presenta utilizando la definición de la derivada por medio del límite.
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) está dada por el límite
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sea \( f \) una función cuadrática de la forma: \( f(x) = a x^2 + bx + c \) y escribimos la derivada de \( f \) como sigue
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a (x+h)^2 + b(x+h) + c - (a x^2 + bx + c)}{h} \]
Expandimos los términos \( a (x+h)^2 \) y \( b(x+h) \) en el numerador
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a x^2 + a h^2 + 2 a x h + b x + bh + c - a x^2 - bx - c}{h} \]
Simplificamos el numerador
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a h^2 + 2 a x h + bh }{h} \]
Dividimos numerador y denominador por \( h \)
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (a h + 2 a x + b) \]
Evaluamos el límite para obtener la derivada de la función cuadrática como
\[ f'(x) = 2 a x + b \]
Parte A
Encuentra las derivadas de las funciones cuadráticas dadas por:
a) \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
b) \( g(x) = - x^2 - 1 \)
c) \( h(x) = 0.1 x^2 - \dfrac {x}{2} - 100 \)
d) \( f(x) = - \dfrac { 3 x^2}{7} - 0.2 x + 7\)
Parte B
Sea \( f(x) = a x^2 + b x + c \).
Encuentra \( f'(2) \) dado que \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) y \( f'(-1) = 2 \).
Parte A
a) \( f'(x) = 8 x - 1 \)
b) \( g'(x) = - 2 x \)
c) \( h'(x) = 0.2 x - \dfrac {1}{2} \)
d) \( f'(x) = -\dfrac {6 x}{7} - 0.2 \)
Parte B
La función dada \( f \) es una función cuadrática, por lo tanto:
\( f'(x) = 2 a x + b \)
Dado \( f'(0) = 1 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2 a (0) + b = 1 \)
Resolvemos para \( b \) y obtenemos: \( b = 1 \)
Dado \( f'(-1) = 2 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2 a (-1) + 1 = 2 \)
Resolvemos para \( a \) y obtenemos: \( a = -\dfrac{1}{2} \)
Dado \( f(2) = 3 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( f(2) = -\dfrac{1}{2} (2)^2 + (1) (2) + c = 3 \)
Resolvemos para \( c \) y obtenemos: \( c = 3 \)
\( f'(2) = 2 (-\dfrac{1}{2})(2) + 1 = -1 \)