Se presenta la prueba de la derivada de las funciones cuadráticas utilizando la definición de límite de la derivada .
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por el límite
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sea \( f \) una función cuadrática de la forma: \( f(x) = a x^2 + bx + c \) y escribimos la derivada de \( f \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a (x+h)^2 + b(x+h) + c - (a x^2 + bx + c)}{h} \)
Expandimos los términos \( a (x+h)^2 \) y \( b(x+h) \) en el numerador
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a x^2 + a h^2 + 2 a x h + b x + bh + c - a x^2 - bx - c)}{h} \)
Simplificamos el numerador
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ a h^2 + 2 a x h + bh )}{h} \)
Dividimos el numerador y el denominador por \( h \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} a h + 2 a x + b \)
Evaluamos el límite para obtener la derivada de la función cuadrática como
\( f'(x) = 2 a x + b \)
Parte A
Encuentra las derivadas de las funciones cuadráticas dadas por
a) \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
b) \( g(x) = - x^2 - 1 \)
c) \( h(x) = 0.1 x^2 - \dfrac {x}{2} - 100 \)
d) \( f(x) = - \dfrac { 3 x^2}{7} - 0.2 x + 7\)
Parte B
Sea \( f(x) = a x^2 + b x + c \).
Encuentra \( f'(2) \) dado que \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) y \( f'(-1) = 2 \)
Parte A
a) \( f'(x) = 8 x - 1 \)
b) \( g'(x) = - 2 x \)
c) \( h'(x) = 0.2 x - \dfrac {1}{2} \)
d) \( f'(x) = -\dfrac {6 x}{7} - 0.2 \)
Parte B
La función dada \( f \) es una función cuadrática, por lo tanto
\( f'(x) = 2 a x + b \)
Dado \( f'(0) = 1 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2 a (0) + b = 1 \)
Resolvemos para \( b \) para obtener: \( b = 1 \)
Dado \( f'(-1) = 2 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2 a (-1) + 1 = 2 \)
Resolvemos para \( a \) para obtener: \( a = -\dfrac{1}{2} \)
Dado
\( f(2) = 3 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( f(2) = -\dfrac{1}{2} (2)^2 + (1) (2) + c = 3\)
Resolvemos para \( c \) para obtener: \( c = 3 \)
\( f'(2) = 2 (-\dfrac{1}{2})(2) + 1 = -1 \)
