Se presenta la prueba de la derivada de \( \sin (x)\)
utilizando la definición de la derivada. También se presenta la derivada de una función seno compuesta, incluyendo ejemplos con sus soluciones.
Prueba de la Derivada de sin x Usando la Definición
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sea \( f(x) = \sin(x) \) y escribimos la derivada de \( \sin(x) \) como un límite
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \)
Usamos la fórmula \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)\) para reescribir la derivada de \( \sin(x) \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \)
Reescribimos \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h))}{h} \)
Usamos el teorema: el límite de la suma de funciones es igual a la suma de los límites de estas funciones para reescribir \( f'(x) \) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \)
Reescribimos lo anterior como
\( f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ (cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ \sin(h)}{h} \)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sin x = \cos x } \]
Gráfico de sin x y su Derivada
Se muestran a continuación los gráficos de \( \sin(x) \) y su derivada. Observa que en cualquier mínimo o máximo de \( \sin(x) \) corresponde un cero de la derivada \( \cos(x) \). Además, para cualquier intervalo en el que \( \sin(x) \) esté aumentando, la derivada es positiva y para cualquier intervalo en el que \( \sin(x) \) esté disminuyendo, la derivada es negativa.
\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sin (u(x)) = \cos u \dfrac{d}{dx} u \]
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas sin
\( f(x) = \sin (x^2-x) \)
\( g(x) = \sin (\sin(x)) \)
\( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \)
Solución del Ejemplo 1
Sea \( u(x) = x^2-x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2-x) = 2x - 1 \) y aplicamos la regla para la función seno compuesta dada arriba
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (x^2-x) \times (2x-1) \)
\( = (2x-1) \cos (x^2-x) \)
Sea \( u(x) = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \). Aplicamos la regla de diferenciación anterior para la función seno compuesta
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (\sin x) \times (\cos x) \)
\( = \cos x \cos (\sin x) \)
Sea \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \) y aplicamos la regla de diferenciación para la función seno compuesta obtenida arriba
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (\dfrac{1-x}{1+x}) \times ( -\dfrac{2}{(1+x)^2}) \)