Demostración de la Derivada de sen x

La demostración de la derivada de \( \sin (x)\) se presenta utilizando la definición de derivada. También se presenta la derivada de una función compuesta de seno, incluyendo ejemplos con sus soluciones.

Demostración de la Derivada de sen x Usando la Definición

La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) está dada por \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Sea \( f(x) = \sin(x) \) y escribimos la derivada de \( \sin(x) \) como un límite \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \] Usamos la fórmula \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)\) para reescribir la derivada de \( sin(x) \) como \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \] Reescribimos \( f'(x) \) de la siguiente manera \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h))}{h} \] Usamos el teorema: el límite de la suma de funciones es igual a la suma de los límites de estas funciones para reescribir \( f'(x) \) como sigue \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \] Reescribimos lo anterior como \[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{ \sin(h)}{h} \] Ahora usamos los siguientes resultados sobre los límites de funciones trigonométricas \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \] demostrado en el uso del teorema del encaje para encontrar límites de funciones matemáticas. \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \] demostrado en cálculo de límites de funciones trigonométricas para simplificar \( f'(x) \) a \[ f'(x) = \sin(x) (0) + \cos(x) (1) = \cos(x) \] conclusión \[ \boxed{ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \sin x = \cos x } } \]

Gráfica de sen x y su Derivada

Las gráficas de \( \sin(x) \) y su derivada se muestran a continuación. Observa que en cualquier mínimo o máximo de \( \sin(x) \) corresponde un cero de la derivada \( \cos(x) \). También, para cualquier intervalo en el que \( \sin(x) \) sea creciente, la derivada es positiva, y para cualquier intervalo en el que \( \sin(x) \) sea decreciente, la derivada es negativa.

Gráfica de sen x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta sin(u(x))

Consideremos la función compuesta seno de otra función u(x). Usamos la regla de la cadena de diferenciación para escribir \[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sin (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \sin u) (\dfrac{d}{dx} u ) \] Simplificamos \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \] Conclusión \[ \boxed{ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \sin (u(x)) = \cos u \dfrac{du}{dx} } \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas de seno

  1. \( f(x) = \sin (x^2-x) \)
  2. \( g(x) = \sin (\sin(x)) \)
  3. \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x} \right) \)

Solución del Ejemplo 1


  1. Sea \( u(x) = x^2-x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^2-x) = 2x - 1 \) y aplicamos la regla para la función compuesta de seno dada anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (x^2-x) \times (2x-1) \)

    \( = (2x-1) \cos (x^2-x) \)


  2. Sea \( u(x) = \sin x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x \). Aplicamos la regla de diferenciación anterior para la función compuesta de seno

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos (\sin x) \times (\cos x) \)

    \( = \cos x \cos (\sin x) \)


  3. Sea \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \) y aplicamos la regla de diferenciación para la función compuesta de seno obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \cos u \dfrac{d}{dx} u = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \times \left( -\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) \)

    \( = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)


Más Referencias y Enlaces

derivada
definición de la derivada
uso del teorema del encaje para encontrar límites de funciones matemáticas.
cálculo de límites de funciones trigonométricas
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.