برهان مشتقة الدوال التربيعية

برهان تعريف النهاية خطوة بخطوة، الصيغ، والأمثلة المحلولة

يُقدم برهان مشتقة الدوال التربيعية باستخدام تعريف النهاية لـ المشتقة.

برهان مشتقة الدالة التربيعية

يُعطى تعريف المشتقة \( f' \) للدالة \( f \) بواسطة النهاية:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

لتكن \( f \) دالة تربيعية بالشكل \( f(x) = a x^2 + bx + c \). نكتب مشتقة \( f \) كالتالي:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]

نفك الحدود \( a(x+h)^2 \) و \( b(x+h) \) في البسط:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]

نبسط البسط:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]

نقسم البسط والمقام على \( h \):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]

نحسب النهاية لنحصل على مشتقة الدالة التربيعية:

الصيغة: \[ f'(x) = 2ax + b \]

أمثلة مع الحلول

القسم أ والقسم ب: مسايل تدريبية والحلول

القسم أ: أوجد مشتقات الدوال التربيعية المعطاة بـ:

  1. \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
  2. \( g(x) = -x^2 - 1 \)
  3. \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
  4. \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)

القسم ب: لتكن \( f(x) = ax^2 + bx + c \). أوجد \( f'(2) \) علماً بأن \( f(2) = 3 \)، و \( f'(0) = 1 \)، و \( f'(-1) = 2 \).

الحلول:

حلول القسم أ:

  1. \( f'(x) = 8x - 1 \)
  2. \( g'(x) = -2x \)
  3. \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
  4. \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)

حل القسم ب:

الدالة المعطاة \( f \) هي دالة تربيعية، إذن:

\[ f'(x) = 2ax + b \]

بما أن \( f'(0) = 1 \)، بالتعويض نحصل على المعادلة: \( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)

بما أن \( f'(-1) = 2 \)، بالتعويض نحصل على المعادلة: \( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)

بما أن \( f(2) = 3 \)، بالتعويض نحصل على المعادلة: \( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)

وأخيراً، نجد \( f'(2) \):

\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]

المراجع والروابط الإضافية