La preuve de la dérivée des fonctions quadratiques est présentée en utilisant la définition de la dérivée par les limites.
Preuve de la dérivée de la fonction quadratique
La définition de la dérivée \( f' \) d'une fonction \( f \) est donnée par la limite :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Soit \( f \) une fonction quadratique de la forme \( f(x) = a x^2 + bx + c \). Écrivons la dérivée de \( f \) comme suit :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]Développons les termes \( a(x+h)^2 \) et \( b(x+h) \) au numérateur :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]Simplifions le numérateur :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]Divisons le numérateur et le dénominateur par \( h \) :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]Évaluons la limite pour obtenir la dérivée de la fonction quadratique :
Exemples avec solutions
Partie A & Partie B : Problèmes d'entraînement et solutions
Partie A : Trouvez les dérivées des fonctions quadratiques suivantes :
- \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
- \( g(x) = -x^2 - 1 \)
- \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
- \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)
Partie B : Soit \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Trouvez \( f'(2) \) sachant que \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) et \( f'(-1) = 2 \).
Solutions :
Solutions de la Partie A :
- \( f'(x) = 8x - 1 \)
- \( g'(x) = -2x \)
- \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
- \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)
Solution de la Partie B :
La fonction donnée \( f \) est une fonction quadratique, donc :
\[ f'(x) = 2ax + b \]Sachant que \( f'(0) = 1 \), remplaçons pour obtenir l'équation : \( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)
Sachant que \( f'(-1) = 2 \), remplaçons pour obtenir l'équation : \( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)
Sachant que \( f(2) = 3 \), remplaçons pour obtenir l'équation : \( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)
Enfin, trouvez \( f'(2) \) :
\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]