Funciones Trigonométricas Inversas Interactivas

Las funciones trigonométricas inversas se exploran interactivamente usando las gráficas a continuación. Es posible que desees revisar primero un tutorial interactivo sobre la definición de la función inversa.

Las tres funciones trigonométricas estudiadas en este tutorial son: \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\) y \(\arctan(x)\).

La exploración se realiza analizando la gráfica de la función y la gráfica de su inversa. También se exploran el dominio y el rango de cada una de las funciones anteriores. Sigue los pasos en el tutorial a continuación.

Tutorial Interactivo

Funciones Seno y Arcoseno

Punto de la función (azul): (0, 0)
Punto inverso (rojo): (0, 0)
Relación: \(f(0) = 0\), \(f^{-1}(0) = 0\)

Seleccionar Función

Mover Punto Sobre la Función

Valor de x: 0.00

Propiedades

Función Seno: \(f(x) = \sin(x)\)
Dominio Restringido: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
Rango: \([-1, 1]\)
Función Arcoseno: \(f^{-1}(x) = \arcsin(x)\)
Dominio: \([-1, 1]\)
Rango: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

Ejercicio

Encuentra los valores exactos: \(\arcsin(0)\), \(\arcsin(1)\), \(\arcsin(-1)\)

Tutorial sobre \(\arcsin(x)\)

  1. Selecciona "seno inverso" en el panel izquierdo. La gráfica en azul es la gráfica de la función seno restringida definida por:
    \(f(x) = \sin(x) \quad \text{donde} \quad x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
    Verifica que el rango de \(f(x)\) es \([-1,1]\). Observa que esta función es uno a uno. En rojo está la función \(\arcsin(x)\), la inversa de \(f(x)\) definida anteriormente. Verifica que el dominio de \(\arcsin(x)\) está dado por el intervalo \([-1,1]\). Observa que el rango de \(\arcsin(x)\) está dado por el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).
  2. Compara el dominio de \(f(x)\) y el rango de su inversa. Compara el rango de \(f(x)\) y el dominio de su inversa.
  3. Usa el deslizador para mover un marcador (azul) a lo largo de la gráfica de \(f(x)\) y otro marcador (rojo) a lo largo de la gráfica de su inversa. Las coordenadas de los dos marcadores se muestran arriba en azul y rojo. Compara la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(f(x)\) con la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(\arcsin(x)\). Compara la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(f(x)\) con la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(\arcsin(x)\). Compara las posiciones de los dos puntos con respecto a la línea \(y = x\) (en verde).
  4. Ejercicio: Usa la aplicación de arriba para encontrar el valor exacto de: \(\arcsin(0)\), \(\arcsin(1)\), \(\arcsin(-1)\).

Tutorial sobre \(\arccos(x)\)

  1. Selecciona "coseno inverso" en el panel izquierdo. La gráfica en azul es la gráfica de la función coseno restringida definida por:
    \(g(x) = \cos(x) \quad \text{donde} \quad x \in [0, \pi]\)
    Verifica que el rango de \(g(x)\) es \([-1,1]\). Observa que esta función es uno a uno. En rojo está la función \(\arccos(x)\), la inversa de \(g(x)\) definida anteriormente. Verifica que el dominio de \(\arccos(x)\) está dado por el intervalo \([-1,1]\). Observa que el rango de \(\arccos(x)\) está dado por el intervalo \([0, \pi]\).
  2. Compara el dominio de \(g(x)\) y el rango de su inversa. Compara el rango de \(g(x)\) y el dominio de su inversa.
  3. Usa el deslizador para mover un marcador (azul) a lo largo de la gráfica de \(g(x)\) y otro marcador (rojo) a lo largo de la gráfica de su inversa. Las coordenadas de los dos marcadores se muestran arriba en azul y rojo. Compara la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(g(x)\) con la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(\arccos(x)\). Compara la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(g(x)\) con la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(\arccos(x)\). Compara las posiciones de los dos puntos con respecto a la línea \(y = x\) (en verde).
  4. Ejercicio: Usa la aplicación de arriba para encontrar el valor exacto de: \(\arccos(0)\), \(\arccos(-1)\), \(\arccos(1)\).

Tutorial sobre \(\arctan(x)\)

  1. Selecciona "tangente inversa" en el panel izquierdo. La gráfica en azul es la gráfica de la función tangente restringida definida por:
    \(h(x) = \tan(x) \quad \text{donde} \quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)

    Nota el intervalo abierto arriba. \(\tan(x)\) no está definida en \(-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{\pi}{2}\). Gráficamente tiene asíntotas verticales (mostradas en líneas discontinuas) en estos valores de \(x\).

    El rango de \(h(x)\) es \((-\infty, +\infty)\). Observa que esta función es uno a uno. En rojo está la función \(\arctan(x)\), la inversa de \(h(x)\) definida anteriormente. Observa que el dominio de \(\arctan(x)\) está dado por el intervalo \((-\infty, +\infty)\). Observa que el rango de \(\arctan(x)\) está dado por el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\). \(\arctan(x)\) tiene asíntotas horizontales en \(y = -\frac{\pi}{2}\) y \(y = \frac{\pi}{2}\) (mostradas en líneas rojas discontinuas).

  2. Compara el dominio de \(h(x)\) y el rango de su inversa. Compara el rango de \(h(x)\) y el dominio de su inversa.
  3. Usa el deslizador para mover un marcador (azul) a lo largo de la gráfica de \(h(x)\) y otro marcador (rojo) a lo largo de la gráfica de su inversa. Las coordenadas de los dos marcadores se muestran arriba en azul y rojo. Compara la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(h(x)\) con la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(\arctan(x)\). Compara la coordenada \(y\) del punto en la gráfica de \(h(x)\) con la coordenada \(x\) del punto en la gráfica de \(\arctan(x)\). Compara las posiciones de los dos puntos con respecto a la línea \(y = x\) (en verde).
  4. Ejercicio: Usa la aplicación de arriba para encontrar el valor exacto de: \(\arctan(0)\), \(\arctan(-1)\), \(\arctan(1)\).

Más Referencias y Enlaces a Funciones Trigonométricas Inversas