Gráfica, Dominio y Rango de la función Arctan(x)

Definición de la función arctan(x)

Al examinar la gráfica de tan(x), que se muestra a continuación, notamos que no es una función uno a uno en su dominio implícito. Pero si limitamos el dominio a \( ( -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \), gráfica azul a continuación, obtenemos una función uno a uno que tiene una inversa que no se puede obtener algebraicamente.

gráfica de tan(x) con dominio limitado

La función inversa de \( f(x) = \tan(x) , x \in (-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \) es \( f^{-1} = \arctan(x) \)
Definimos \( \arctan(x) \) de la siguiente manera: \[ y = \arctan(x) \iff x = \tan(y) \] donde \( x \in (- \infty , +\infty) \) y \( y \in ( -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \)

Hagamos una tabla de valores de \( y = \arctan(x) \) y grafiquémosla junto con \( y = \tan(x), x \in ( - \infty , + \infty ) \)

\( x \) -10000 -100 -10 -1 0 1 10 100 10000
\( y = \arctan(x) \) -1.57069 -1.56079 -1.47112 \( -\dfrac{\pi}{4} \) 0 \( \dfrac{\pi}{4} \) 1.47112 1.56079 1.57069
calculadora calculadora calculadora ya que \( \tan(-\dfrac{\pi}{4}) = - 1 \) ya que \( \tan(0) = 0 \) ya que \( \tan(\dfrac{\pi}{4}) = 1 \) calculadora calculadora calculadora

Las gráficas de \( y = \arctan(x) \) y \( y = \tan(x) , x \in ( -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \) se muestran a continuación. Al ser inversas entre sí, cada una de las dos gráficas es el reflejo de la otra sobre la línea \( y = x \).
Nota: Debido a que \( \tan(x) \) tiene asíntotas verticales en \( x = - \dfrac{\pi}{2} \) y \( x = \dfrac{\pi}{2} \) (líneas azules discontinuas), su función inversa \( arctan(x) \) tiene asíntotas horizontales (líneas rojas discontinuas).
El comportamiento de la gráfica de \( \arctan(x) \) cerca de las asíntotas horizontales puede describirse usando el concepto de límites de la siguiente manera:
\( \lim_{x\to\infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \)
y
\( \lim_{x\to -\infty} \arctan(x) = - \dfrac{\pi}{2} \)

gráfica de tan(x) y arctan(x)

Ejemplo 1
Evalúa \( arctan(x) \) dado el valor de \( x \).
Valores especiales relacionados con ángulos especiales
\( \arctan(0) = 0\) porque \( \tan(0) = 0 \)
\( \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \; \text{ o } -45^{o} \) porque \( \tan(-\dfrac{\pi}{4}) = -1 \)
\( \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} \; \text{ o } 45^{o}\) porque \( \tan(\dfrac{\pi}{4}) = 1 \)
Uso de la calculadora
\( \arctan(-2) = -1.107 \; \text{ o } -63.43^{o} \)
\( \arctan(180) = 1.56 \; \text{ o } 89.68^{o} \)
\( \arctan(-230) = -1.566 \; \text{ o } -89.75^{o} \)
\( \arctan(-0.2) = -0.197 \; \text{ o } -11.31^{o} \)



Propiedades de \( y = arctan(x) \)

  1. Dominio: \( (-\infty , +\infty) \)
  2. Rango: \( (-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2}) \)
  3. \( \arctan(-x) = - \arctan(x) \) , función impar
  4. \( \arctan(x) \) es una función uno a uno
  5. \( \tan(\arctan(x)) = x \) , debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f(f^{-1}(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f^{-1} \)
  6. \( \arctan(\tan(x)) = x \) , para x en el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}) \) , debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f^{-1}(f(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f \)


Ejemplo 2
Encuentra el rango de las funciones:
a) \( y = 3 \arctan(x)\)       b) \( y = - \arctan(x) + \pi/2 \)       c) \( y = 2 \arctan(x + 3) - \pi/4 \)

Solución al Ejemplo 2
a)
el rango se encuentra escribiendo primero el rango de \( \arctan(x)\) como una doble desigualdad
\( -\dfrac{\pi}{2} \lt \arctan(x) \lt \dfrac{\pi}{2} \)
multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por 3 y simplifica
\( - 3 \pi / 2 \lt 3 \arctan(x) \lt 3 \pi / 2 \)
el rango de la función dada \( y = 3 \arctan(x) \) está dado por el intervalo \( ( - 3 \pi / 2 , 3 \pi / 2 ) \).

b)
comenzamos con el rango de \( \arctan(x)\)
\( -\dfrac{\pi}{2} \lt \arctan(x) \lt \dfrac{\pi}{2} \)
multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por -1 y cambia el símbolo de la doble desigualdad
\( -\dfrac{\pi}{2} \lt -\arctan(x) \lt \dfrac{\pi}{2} \)
suma \( \dfrac{\pi}{2} \) a todos los términos de la doble desigualdad anterior y simplifica
\( 0 \lt - \arctan(x) + \dfrac{\pi}{2} \lt \pi \)
el rango de la función dada \( y = - \arctan(x) + \dfrac{\pi}{2} \) está dado por el intervalo \( ( 0, \pi ) \).

c)
La gráfica de la función \( y = \arctan(x+3)\) es la gráfica de \( \arctan(x)\) desplazada 3 unidades a la izquierda. Desplazar una gráfica a la izquierda o a la derecha no afecta el rango. Por lo tanto, el rango de \( \arctan(x+3)\) está dado por la doble desigualdad
\( -\dfrac{\pi}{2} \lt \arctan(x+3) \lt \dfrac{\pi}{2} \)
Multiplica todos los términos de la doble desigualdad por 2 y simplifica
\( - \pi \lt \arctan(x+3) \lt \pi \)
Suma \( -\pi/4 \) a todos los términos de la desigualdad anterior y simplifica para obtener el rango de la función dada \( y = 2 \arctan(x + 3) - \pi/4 \) mediante la doble desigualdad
\( - 5\pi / 4 \lt \arctan(x+3) \lt 3 \pi / 4 \)

Ejemplo 3
Evalúa si es posible
a) \( \tan(\arctan(-1.5))\)       b) \( \arctan(\tan(\dfrac{\pi}{7}) ) \)       c) \( \arctan(\tan(\dfrac{-\pi}{2})) \)       d) \( \tan(\arctan(-19.5)) \)       e) \( \arctan(\tan(\dfrac{ 13 \pi}{6}) ) \)

Solución al Ejemplo 3
a)
\( \tan(\arctan(-1.5)) = -1.5 \) usando la propiedad 5 anterior
b)
\( \arctan(\tan(\dfrac{\pi}{7}) = \dfrac{\pi}{7}\) usando la propiedad 6 anterior
c)
NOTA que no podemos usar la propiedad 6 porque \( \tan(\dfrac{-\pi}{2}) \) no está definida
\( \arctan \tan(\dfrac{-\pi}{2}) \) no está definida
d)
\( \tan(\arctan(-19.5)) = -19.5\) usa la propiedad 5
e)
La propiedad 6 no se puede aplicar a la pregunta en la parte e) porque \( \dfrac{13\pi}{4} \) no está en el dominio de esa propiedad. Por lo tanto, primero calculamos \( \tan(\dfrac{ 13 \pi}{4}) \)
\( \tan(\dfrac{ 13 \pi}{4}) = \tan(\dfrac{ 12 \pi}{4}+\dfrac{ \pi}{4}) = \tan(3\pi+\dfrac{ \pi}{4}) = \tan(\dfrac{ \pi}{4}) = 1 \)
Ahora sustituimos \( \tan(\dfrac{ 13\pi}{4}) \) por 1 en la expresión dada y simplificamos
\( \arctan(\tan(\dfrac{ 13 \pi}{6}) ) = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} \)

Tutorial Interactivo para Explorar la Función arctan(x) Transformada

La exploración se lleva a cabo analizando los efectos de los coeficientes \( a, b, c\) y \( d \) incluidos en la función arctan más general dada por \[ f(x) = a \arctan(b x + c) + d \] Cambia los coeficientes \( a, b, c\) y \( d \) y haz clic en el botón 'draw' en el panel izquierdo a continuación. Acerca y aleja para una mejor visualización. Dependiendo de qué coeficientes se cambien, esperamos que la gráfica se transforme mediante compresión vertical y horizontal, estiramiento, reflexión y también desplazamiento vertical.

a =
-10+10

b =
-10+10

c =
-10+10

d =
-10+10


  1. Establece los coeficientes en \( a = 1, b = 1, c = 0 \) y \( d = 0 \) para obtener
    \[ f(x) = \arctan(x) \]
    Verifica que el dominio de \( \arctan(x) \) es el conjunto de todos los números reales y el rango está dado por el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \). Comprueba también que \( \arctan(x) \) tiene asíntotas horizontales en \( y = -\dfrac{\pi}{2}\) y \( y = \dfrac{\pi}{2} \). (Acerca y aleja)

  2. Cambia el coeficiente \( a \) y observa cómo cambia la gráfica de \( a \arctan(x) \) (compresión vertical, estiramiento, reflexión). ¿Cómo afecta esto al rango y a las asíntotas de la función?
    ¿Un cambio en el coeficiente \( a \) afecta el dominio de la función?

  3. Cambia el coeficiente \( b \) y observa cómo cambia la gráfica de la función (compresión horizontal, estiramiento). ¿Un cambio en \( b \) afecta el rango, dominio y asíntotas de la función?

  4. Cambia el coeficiente \( c \) y observa cómo cambia la gráfica de la función (desplazamiento horizontal). ¿Un cambio en \( c \) afecta el dominio, rango y asíntotas de la función?

  5. Cambia el coeficiente \( d \) y observa cómo cambia la gráfica de la función (desplazamiento vertical). ¿Un cambio en \( d \) afecta el rango, dominio y asíntotas de la función?

  6. Si el rango de \( \arctan(x) \) está dado por el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ) \), ¿cuál es el rango de \( a \arctan(x) \)? ¿Cuál es el rango de \( a \arctan(x) + d\)?

  7. Si las asíntotas horizontales de \( arctan(x) \) están dadas por las líneas horizontales \( y = -\dfrac{\pi}{2} \) y \( y = \dfrac{\pi}{2} \), ¿cuáles son las asíntotas horizontales de \( a \arctan(x) \)?

  8. ¿Cuáles son las asíntotas horizontales de \( a \arctan(x) + d \)?

Más Referencias y Enlaces a Funciones Trigonométricas Inversas

Funciones Trigonométricas Inversas
Gráfica, Dominio y Rango de la función Arcsin
Gráfica, Dominio y Rango de la función Arctan
Encuentra el Dominio y Rango de las Funciones Arcocoseno
Encuentra el Dominio y Rango de las Funciones Arcoseno
Resuelve Preguntas de Funciones Trigonométricas Inversas