Aprende cómo determinar el dominio y rango de funciones arcoseno con soluciones detalladas paso a paso.
Teorema
La función arcoseno se define como:
\[ y = \arcsin(x) \quad \text{es equivalente a} \quad \sin(y) = x \]con las restricciones:
\[ -1 \le x \le 1 \quad \text{y} \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \]Pregunta 1
Encuentra el dominio y rango de \( y = \arcsin(x - 1) \).
Solución
Dominio: Imponemos la condición sobre el argumento \((x - 1)\) basándonos en el dominio de \(\arcsin(x)\):
\[ -1 \le (x - 1) \le 1 \]Resolviendo la desigualdad:
\[ 0 \le x \le 2 \]Esto muestra que la gráfica de \( y = \arcsin(x - 1) \) es la gráfica de \( y = \arcsin(x) \) desplazada una unidad a la derecha.
Rango: Los desplazamientos horizontales no afectan el rango. Por lo tanto:
\[ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \]Pregunta 2
Encuentra el dominio y rango de \( y = -\arcsin(x + 2) \).
Solución
Dominio: Aplica la condición del dominio a \((x + 2)\):
\[ -1 \le (x + 2) \le 1 \]Resolviendo:
\[ -3 \le x \le -1 \]Esto representa un desplazamiento horizontal de dos unidades a la izquierda.
Rango: Comienza con el rango de \(\arcsin(x + 2)\):
\[ -\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2} \]Multiplica por \(-1\) (invierte los signos de desigualdad):
\[ \frac{\pi}{2} \ge -\arcsin(x + 2) \ge -\frac{\pi}{2} \]Reescribiendo en orden estándar:
\[ -\frac{\pi}{2} \le -\arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2} \]Por lo tanto, el rango es \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).
Pregunta 3
Encuentra el dominio y rango de \( y = -2\arcsin(3x - 1) \).
Solución
Dominio: Aplica la condición del dominio a \((3x - 1)\):
\[ -1 \le (3x - 1) \le 1 \]Resolviendo:
\[ 0 \le x \le \frac{2}{3} \]Rango: Comienza con:
\[ -\frac{\pi}{2} \le \arcsin(3x - 1) \le \frac{\pi}{2} \]Multiplica por \(-2\) (invierte los signos de desigualdad):
\[ \pi \ge -2\arcsin(3x - 1) \ge -\pi \]Por lo tanto, el rango es \([-\pi, \pi]\).
Pregunta 4
Encuentra el dominio y rango de \( y = 4\arcsin(-2(x - 1)) - \frac{\pi}{2} \).
Solución
Dominio: Aplica la condición del dominio a \((-2(x - 1))\):
\[ -1 \le -2(x - 1) \le 1 \]Resolviendo:
\[ \frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2} \]Rango: Comienza con:
\[ -\frac{\pi}{2} \le \arcsin(-2(x - 1)) \le \frac{\pi}{2} \]Multiplica por 4:
\[ -2\pi \le 4\arcsin(-2(x - 1)) \le 2\pi \]Resta \(\frac{\pi}{2}\):
\[ -\frac{5\pi}{2} \le 4\arcsin(-2(x - 1)) - \frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2} \]Por lo tanto, el rango es \(\left[-\frac{5\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\).