Preguntas sobre cómo encontrar el dominio y rango de funciones arcocoseno con soluciones detalladas.
\[ y = \arccos x \quad \text{es equivalente a} \quad \cos y = x \]
con \( -1 \le x \le 1 \quad \text{y} \quad 0 \le y \le \pi \)
Encuentra el dominio y rango de \( y = \arccos(x + 1) \)
1. Dominio: Para encontrar el dominio, necesitamos imponer una condición sobre el argumento \( (x + 1) \) de acuerdo con el dominio de \( \arccos(x) \), que es \( -1 \le x \le 1 \). Por lo tanto
\[ -1 \le (x + 1) \le 1 \]
Resuelve para obtener el dominio: \( -2 \le x \le 0 \)
Esto significa que la gráfica de \( y = \arccos(x + 1) \) es la de \( y = \arccos(x) \) desplazada una unidad a la izquierda.
2. Rango: Un desplazamiento horizontal no afecta el rango. Por lo tanto, el rango de \( y = \arccos(x + 1) \) es el mismo que el rango de \( \arccos(x) \), que es \( 0 \le y \le \pi \).
Encuentra el dominio y rango de \( y = -\arccos(x - 2) \)
1. Dominio: Imponemos la condición sobre \( (x - 2) \) de acuerdo con el dominio de \( \arccos(x) \):
\[ -1 \le (x - 2) \le 1 \]
Resuelve para obtener el dominio: \( 1 \le x \le 3 \)
Esto representa un desplazamiento horizontal de dos unidades a la derecha.
2. Rango: El rango de \( \arccos(x - 2) \) es \( 0 \le y \le \pi \). Por lo tanto:
\[ 0 \le \arccos(x - 2) \le \pi \]
Multiplica todos los términos por \( -1 \) (lo que invierte los signos de desigualdad):
\[ 0 \ge -\arccos(x - 2) \ge -\pi \]
Reescribiendo se obtiene el rango de \( y = -\arccos(x - 2) \) como el intervalo \( [-\pi, 0] \).
Encuentra el dominio y rango de \( y = -2 \arccos(-2x + 1) \)
1. Dominio: Impone la condición sobre el argumento \( (-2x + 1) \):
\[ -1 \le (-2x + 1) \le 1 \]
Resuelve para obtener el dominio: \( 0 \le x \le 1 \)
2. Rango: El rango de \( \arccos(-2x + 1) \) es \( 0 \le y \le \pi \). Por lo tanto:
\[ 0 \le \arccos(-2x + 1) \le \pi \]
Multiplica por \( -2 \) (invirtiendo las desigualdades):
\[ 0 \ge -2\arccos(-2x + 1) \ge -2\pi \]
Así, el rango es \( [-2\pi, 0] \).
Encuentra el dominio y rango de \( y = 2 \arccos(2x) + \frac{\pi}{2} \)
1. Dominio: Condición sobre \( 2x \):
\[ -1 \le 2x \le 1 \]
Resuelve: \( -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} \)
2. Rango: Comienza con el rango de \( \arccos(2x) \): \( 0 \le \arccos(2x) \le \pi \)
Multiplica por 2: \( 0 \le 2\arccos(2x) \le 2\pi \)
Suma \( \frac{\pi}{2} \): \( \frac{\pi}{2} \le 2\arccos(2x) + \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{2} \)
Por lo tanto, el rango es \( \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \right] \).