Este tutorial proporciona soluciones detalladas a problemas de funciones trigonométricas inversas. Se incluyen ejercicios con respuestas. Primero revisamos los teoremas y propiedades clave de las funciones trigonométricas inversas.
\( y = \text{arcsen} x \Leftrightarrow \sin y = x \)
con \(\ -1 \le x \le 1 \ \) y \(\ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \).
\( y = \arccos x \ \Leftrightarrow\ \cos y = x \)
con \(\ -1 \le x \le 1 \ \) y \(\ 0 \le y \le \pi \).
\( y = \arctan x \ \Leftrightarrow\ \tan y = x \)
con \(\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \).
Evalúa lo siguiente:
1. \( \text{arcsen}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
Sea \( y = \text{arcsen}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \). Por el Teorema 1:
\[ \sin y = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \]De los ángulos especiales, \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Usando \( \sin(-x) = -\sin x \):
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]Comparando con \( \sin y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), concluimos:
\[ y = -\frac{\pi}{3} \]2. \( \arctan\left(-1\right) \)
Sea \( y = \arctan\left(-1\right) \). Por el Teorema 3:
\[ \tan y = -1, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \]De los ángulos especiales, \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \).
Usando \( \tan(-x) = -\tan x \):
\[ \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \]Comparando con \( \tan y = -1 \), obtenemos:
\[ y = -\frac{\pi}{4} \]3. \( \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \)
Sea \( y = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \). Por el Teorema 2:
\[ \cos y = -\frac{1}{2}, \quad 0 \le y \le \pi \]De los ángulos especiales, \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).
Usando \( \cos(\pi - x) = -\cos x \):
\[ \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]Comparando con \( \cos y = -\frac{1}{2} \), obtenemos:
\[ y = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]Sea \( z = \cos(\text{arcsen} x) \) y \( y = \text{arcsen} x \), entonces \( z = \cos y \).
Por el Teorema 1, \( y = \text{arcsen} x \) es equivalente a:
\[ \sin y = x, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \]Usando la identidad pitagórica:
\[ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \]Sustituye \( \sin y = x \) y despeja \( \cos y \):
\[ \cos y = \pm \sqrt{1 - x^2} \]Dado que \( -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \), \( \cos y \) es no negativo.
\[ z = \cos(\text{arcsen} x) = \sqrt{1 - x^2} \]Sea \( z = \csc(\arctan x) \) y \( y = \arctan x \), entonces \( z = \csc y = \frac{1}{\sin y} \).
Por el Teorema 3, \( y = \arctan x \) es equivalente a:
\[ \tan y = x, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \]Sabemos:
\[ \tan^2 y = \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \frac{\sin^2 y}{1 - \sin^2 y} \]Despeja \( \sin y \):
\[ \sin y = \pm \sqrt{ \frac{\tan^2 y}{1 + \tan^2 y} } \]Para \( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \), \( \sin y \) y \( \tan y \) tienen el mismo signo. Por lo tanto:
\[ \sin y = \frac{\tan y}{\sqrt{1 + \tan^2 y}} \]Sustituye \( \tan y = x \):
\[ \sin y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \]Así:
\[ z = \csc(\arctan x) = \frac{1}{\sin y} = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \]Evalúa lo siguiente:
1. \( \text{arcsen}\left( \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right) \)
Recuerda: \( \text{arcsen}(\sin y) = y \) solo para \( -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \).
Dado que \( \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \), y \( -\frac{\pi}{4} \) está en el rango requerido:
\[ \text{arcsen}\left( \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right) = \text{arcsen}\left( \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = -\frac{\pi}{4} \]2. \( \arccos\left( \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) \right) \)
Recuerda: \( \arccos(\cos y) = y \) solo para \( 0 \le y \le \pi \).
Dado que \( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \), y \( \frac{2\pi}{3} \) está en el rango requerido:
\[ \arccos\left( \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) \right) = \arccos\left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) = \frac{2\pi}{3} \]