Gráfica, Dominio y Rango de la función arcsen(x)

La definición, la gráfica y las propiedades de la función trigonométrica inversa \( \arcsen(x) \) se exploran mediante gráficas, ejemplos con soluciones detalladas y una aplicación interactiva.

Definición de la función arcsen(x)

Examinemos la función \( \sin(x) \) que se muestra a continuación. En su dominio implícito, \( \sin(x) \) no es una función uno a uno como se ve a continuación; una prueba de la línea horizontal dará varios puntos de intersección. Pero si limitamos el dominio a \( [ -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ] \), gráfica azul a continuación, obtenemos una función uno a uno que tiene una inversa que no se puede obtener algebraicamente.



La función inversa de \( f(x) = \sin(x) , x \in [ -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ] \) es \( f^{-1} = \arcsen(x) \)
Definimos \( \arcsen(x) \) de la siguiente manera \[ y = \arcsen(x) \iff x = \sin(y) \] donde \( -1 \le x \le 1 \) y \( -\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2} \)

Hagamos una tabla de valores de \( y = \arcsen(x) \) y grafíquela junto con \( y = \sin(x), [ -\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} ] \)

Propiedades de \( y = \arcsen(x) \)

1. Dominio: \( [-1 , +1] \)
   
2. Rango: \( [-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2}] \)
   
3. \( \arcsen(-x) = - \arcsen(x) \), por lo tanto \( \arcsen(x) \) es una función impar
   
4. \( \arcsen(x) \) es una función uno a uno
   
5. \( \sin(\arcsen(x)) = x \), para x en el intervalo \( [-1,1] \), debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f(f^{-1}(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f^{-1} \)
   
6. \( \arcsen(\sin(x)) = x \), para x en el intervalo \( [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \), debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f^{-1}(f(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f \)

Tutorial Interactivo para Explorar el arcsen(x) Transformado

1. Establece los parámetros en \( a = 1, b = 1, c = 0\) y \( d = 0 \) para obtener \[ f(x) = \arcsen(x) \] Comprueba que el dominio de \( \arcsen(x) \) está dado por el intervalo \( [-1 , 1] \) y el rango está dado por el intervalo \( [-\dfrac{\pi}{2} , +\dfrac{\pi}{2} ] \), \( (\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57) \)
   
2. Cambia el coeficiente \( a \) y observa cómo cambia la gráfica de \( a \arcsen(x) \) (Sugerencia: compresión vertical, estiramiento, reflexión). ¿Cómo afecta esto al rango de la función \( a \arcsen(x) \)?
   ¿El coeficiente \( a \) afecta el dominio de \( a \arcsen(x) \)?
   
3. Cambia el coeficiente \( b \) y observa cómo cambia la gráfica de \( \arcsen(b x) \) (compresión horizontal, estiramiento). ¿Un cambio en \( b \) afecta el dominio o/ y el rango de la función?
   
4. Cambia el coeficiente \( c \) y observa cómo cambia la gráfica de \( a \arcsen(bx + c) \) (desplazamiento horizontal). ¿Un cambio en el coeficiente \( c \) afecta el dominio o/ y el rango de la función?
   
5. Cambia el coeficiente \( d \) y observa cómo cambia la gráfica de \( \arcsen(bx + c) + d \) (desplazamiento vertical). ¿Un cambio en el coeficiente \( d \) afecta el rango de la función? ¿Afecta su dominio?
   
6. Si el rango de \( \arcsen(x) \) está dado por el intervalo \( [-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2}] \), ¿cuál es el rango de \( a \arcsen(x) \)? ¿Cuál es el rango de \( a \arcsen(x) + d\)?
   
7. ¿Cuál es el dominio y el rango de \( a \arcsen(b x + c) + d \)?

Ejercicios

1. Encuentra el dominio y el rango de \( f(x) = \arcsen(x - 1) - \pi/2 \).
   
2. Encuentra el dominio y el rango de \( g(x) = - \arcsen(2 x - 2) + \pi \).
   
3. Encuentra el dominio y el rango de \( h(x) = - \dfrac{1}{2} \arcsen(x) - \pi / 4\).

1. Dominio: \( [0 , 2] \) , Rango: \( [- \pi , 0] \).
   
2. Dominio: \( [1/2 , 3/2] \) , Rango: \( [ \pi / 2, 3\pi / 2] \).
   
3. Dominio: \( [-1 , 1] \) , Rango: \( [- \pi/2 , 0] \).

Más Referencias y Enlaces a Funciones Trigonométricas Inversas