Se presenta la demostración de la derivada de las funciones cuadráticas utilizando la definición de límite de la derivada.
Demostración de la Derivada de la Función Cuadrática
La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) está dada por el límite:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sea \( f \) una función cuadrática de la forma \( f(x) = a x^2 + bx + c \). Escriba la derivada de \( f \) de la siguiente manera:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]Desarrolle los términos \( a(x+h)^2 \) y \( b(x+h) \) en el numerador:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]Simplifique el numerador:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]Divida el numerador y el denominador por \( h \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]Evalúe el límite para obtener la derivada de la función cuadrática:
Ejemplos con Soluciones
Parte A y Parte B: Problemas de práctica y soluciones
Parte A: Encuentre las derivadas de las funciones cuadráticas dadas por:
- \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
- \( g(x) = -x^2 - 1 \)
- \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
- \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)
Parte B: Sea \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Encuentre \( f'(2) \) dado que \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \) y \( f'(-1) = 2 \).
Soluciones:
Soluciones de la Parte A:
- \( f'(x) = 8x - 1 \)
- \( g'(x) = -2x \)
- \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
- \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)
Solución de la Parte B:
La función dada \( f \) es una función cuadrática, por lo tanto:
\[ f'(x) = 2ax + b \]Dado que \( f'(0) = 1 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)
Dado que \( f'(-1) = 2 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)
Dado que \( f(2) = 3 \), sustituimos para obtener la ecuación: \( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)
Finalmente, encuentre \( f'(2) \):
\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]