Encontrar la Inversa de Funciones Logarítmicas
Ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar la
inversa de
funciones logarítmicas y determinar su
dominio y rango.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Encuentra la función inversa, su dominio y rango de la función:
\[ f(x) = \ln(x - 2) \]
Solución
- Dominio de \(f\): \(x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\), entonces \(\text{Dominio}(f) = (2, +\infty)\) y \(\text{Rango}(f) = (-\infty, +\infty)\).
- Escribe la función como una ecuación: \[ y = \ln(x - 2) \]
- Convierte a forma exponencial: \[ x - 2 = e^y \]
- Despeja \(x\): \[ x = 2 + e^y \]
- Intercambia \(x\) y \(y\) para obtener la función inversa: \[ f^{-1}(x) = 2 + e^x \]
- Dominio y rango de \(f^{-1}\): \(\text{Dominio}(f^{-1}) = (-\infty, +\infty)\), \(\text{Rango}(f^{-1}) = (2, +\infty)\)
Ejemplo 2
Encuentra la inversa, su dominio y rango de:
\[ f(x) = 3\ln(4x - 6) - 2 \]
Solución
- Dominio de \(f\): \(4x - 6 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}\), entonces \(\text{Dominio}(f) = \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)\), \(\text{Rango}(f) = (-\infty, +\infty)\).
- Forma de ecuación: \[ y = 3\ln(4x - 6) - 2 \Rightarrow \ln(4x - 6) = \frac{y + 2}{3} \]
- Forma exponencial: \[ 4x - 6 = e^{(y + 2)/3} \]
- Despeja \(x\): \[ x = \frac{1}{4} e^{(y + 2)/3} + \frac{3}{2} \]
- Función inversa: \[ f^{-1}(x) = \frac{1}{4} e^{(x + 2)/3} + \frac{3}{2} \]
- Dominio y rango de \(f^{-1}\): \(\text{Dominio}(f^{-1}) = (-\infty, +\infty)\), \(\text{Rango}(f^{-1}) = \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)\)
Ejemplo 3
Encuentra la inversa, su dominio y rango de:
\[ f(x) = -\ln(x^2 - 4) - 5, \quad x < -2 \]
Solución
- Dominio de \(f\): \((-\infty, -2)\), Rango: \((-\infty, +\infty)\).
- Forma de ecuación: \[ y = -\ln(x^2 - 4) - 5 \Rightarrow \ln(x^2 - 4) = -y - 5 \]
- Forma exponencial: \[ x^2 - 4 = e^{-y - 5} \Rightarrow x = \pm \sqrt{e^{-y - 5} + 4} \]
- Dado que \(x < -2\), elige la raíz negativa: \[ x = - \sqrt{e^{-y - 5} + 4} \]
- Función inversa: \[ f^{-1}(x) = - \sqrt{e^{-x - 5} + 4} \]
- Dominio y rango de \(f^{-1}\): \(\text{Dominio}(f^{-1}) = (-\infty, +\infty)\), \(\text{Rango}(f^{-1}) = (-\infty, -2)\)
Ejercicios
Encuentra la inversa, el dominio y el rango de:
- \[ f(x) = - \ln(-x + 4) - 6 \]
- \[ g(x) = \ln(x^2 - 1) - 3, \quad x > 1 \]
Respuestas
- \[ f^{-1}(x) = - e^{-x - 6} + 4, \quad \text{Dominio: } (-\infty, +\infty), \quad \text{Rango: } (-\infty, 4) \]
- \[ g^{-1}(x) = \sqrt{1 + e^{x + 3}}, \quad \text{Dominio: } (-\infty, +\infty), \quad \text{Rango: } (1, +\infty) \]
Más Referencias